Ganggawa di Malam Hari

Orang bilang sangat pekat ini malam Ujung jari tak tampak mereka bilang

Menjadi Seorang Murobbi

“Dan tiadalah Kami mengutus kamu, melainkan untuk (menjadi) rahmat bagi semesta alam” (QS. 21 : 107)

FOTO KKN

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

ISLAMIC CAMP

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNM

Lokasi di Jl Dg Tata Raya, Parangtambung Makassar, Sulawesi Selatan

Tuesday 29 March 2011

Mengapa Imam berbalik setelah Shalat?


Apa yang seringkali Anda saksikan tentang imam shalat yang berputar posisi menghadap ke jamaah atau ke kanan atau ke kiri, semua memang ada dalil haditsnya. Semua merupakan rekaman para shahabat ketika ikut shalat berjamaah bersama Rasulullah SAW.
Beberapa di antara hadits yang menyebutkan tentang perbuatan Rasulullah SAW ketika selesai shalat kemudi

Friday 25 March 2011

Kisah Indah Sang Khalifah


Siang di bumi Madinah, suatu hari. Matahari tengah benderang.
Teriknya sungguh garang menyapa hampir setiap jengkal kota dan pepasir lembah. Jalanan senyap, orang-orang lebih memilih istirahat di dalam rumah daripada bepergian dan melakukan perniagaan. Namun tidak baginya, lelaki tegap, berwajah teduh dan mengenakan jubah yang sederhana itu berjalan menyusuri lorong-lorong kota sendirian. Ia tidak peduli dengan panas yang menyengat. Ia tak terganggu dengan debu-debu yang naik ke udara. Ia terus saja bersemangat mengayun langkah. Sesekali ekor matanya berkerling ke sana ke mari seperti tengah mengawasi. Hatinya lega, ketika daerah yang dilewatinya sentosa seperti kemarin.
Hingga ketika ia melewati salah satu halaman rumah seorang penduduk, tiba-tiba ia berhenti. Langkahnya surut. Pandangannya tertuju pada anak kecil di sana. Ditajamkan pendengarannya, samar-samar ia seperti mendengar suara lirih cericit burung. Perlahan ia mendatanginya dan dengan lembut ia menyapa bocah laki-laki yang tengah asyik bermain.
"Nak, apa yang berada di tanganmu itu?" Wajah si kecil mendongak, hanya sekilas dan menjawab.
"Paman, tidakkah paman lihat, ini adalah seekor burung," polosnya ringan. Pandangan lelaki ini meredup, ia jatuh iba melihat burung itu mencericit parau. Di dalam hatinya mengalun sebuah kesedihan, "Burung ini tentu sangat ingin terbang dan anak ini tidak mengerti jika mahluk kecil ini teraniaya."
"Bolehkah aku membelinya, nak? Aku sangat ingin memilikinya," suaranya penuh harap. Si kecil memandang lelaki yang tak dikenalnya dengan seksama. Ada gurat kesungguhan dalam paras beningnya. Lelaki itu masih saja menatapnya lekat. Akhirnya dengan agak ragu ia berkata, "Baiklah paman," maka anak kecil pun segera bangkit menyerahkan burung kepada lelaki yang baru pertama kali dijumpainya.
Tanpa menunggu, lelaki ini merogoh saku jubah sederhananya. Beberapa keping uang itu kini berpindah. Dalam genggamannya burung kecil itu dibawanya menjauh. Dengan hati-hati kini ia membuka genggamannya seraya bergumam senang, "Dengan menyebut asma Allah yang Maha Penyayang, engkau burung kecil, terbanglah...terbanglah..."
Maka sepasang sayap itu mengepak tinggi. Ia menengadah hening memandang burung yang terbang ke jauh angkasa. Sungguh, langit Madinah menjadi saksi, ketika senyuman senang tersungging di bibirnya yang seringkali bertasbih. Sayup-sayup didengarnya sebuah suara lelaki dewasa yang membuatnya pergi dengan langkah tergesa. "Nak, tahukah engkau siapa yang membeli burung mu itu? Tahukah engkau siapa lelaki mulia yang kemudian membebaskan burung itu ke angkasa? Dialah Khalifah Umar nak..."
***
Malam-malam di kota Madinah, suatu hari.
Masih seperti malam-malam sebelumnya, ia mengendap berjalan keluar dari rumah petak sederhana. Masih seperti malam kemarin, ia sendirian menelusuri jalanan yang sudah seperti nafasnya sendiri. Dengan udara padang pasir yang dingin tertiup, ia menyulam langkah-langkah merambahi rumah-rumah yang penghuninya ditelan lelap. Tak ingin malam ini terlewati tanpa mengetahui bahwa mereka baik-baik saja. Sungguh tak akan pernah rela ia harus berselimut dalam rumahnya tanpa kepastian di luar sana tak ada bala. Maka ia bertekad malam ini untuk berpatroli lagi.
Madinah sudah tersusuri, malam sudah hampir di puncak. Angkasa bertabur kejora. Ia masih berjalan, meski lelah jelas terasa. Sesekali ia mendongak melabuhkan pandangan ke langit Madinah yang terlihat jelita. Maka ia pun tersenyum seperti terhibur dan memuja pencipta. Tak terasa Madinah sudah ditinggalkan, ia berjalan sudah sampai di luar kota. Dan langkahnya terhenti ketika dilihatnya seorang lelaki yang tengah duduk sendirian menghadap sebuah pelita.
"Assalamu'alaikum wahai fulan," ia menegur lelaki ini dengan santun.
"Apakah yang engkau lakukan malam-malam begini sendirian," tambahnya. Lelaki itu tidak jadi menjawab ketika didengarnya dari dalam tenda suara perempuan yang memanggilnya dengan mengaduh. Dengan tersendat lelaki itu memberitahu bahwa istrinya akan melahirkan. Lelaki itu bingung karena di sana tak ada sanak saudara yang dapat diminta pertolongannya.
Setengah berlari maka ia pun pergi, menuju rumah sederhananya yang masih sangat jauh. Ia menyeret kakinya yang sudah lelah karena telah mengelilingi Madinah. Ia terus saja berlari, meski kakinya merasakan dengan jelas batu-batu yang dipijaknya sepanjang jalan. Tentu saja karena alas kakinya telah tipis dan dipenuhi lubang. Ia jadi teringat kembali sahabat-sahabatnya yang mengingatkan agar ia membeli sandal yang baru.
"Umm Kultsum, bangunlah, ada kebaikan yang bisa kau lakukan malam ini," Ia membangunkan istrinya dengan nafas tersengal. Sosok perempuan itu menurut tanpa sepatah kata. Dan kini ia tak lagi sendiri berlari. Berdua mereka membelah malam. Allah menjadi saksi keduanya dan memberikan rahmah hingga dengan selamat mereka sampai di tenda lelaki yang istrinya akan melahirkan.
Umm Kultsum segera masuk dan membantu persalinan. Allah Maha Besar, suara tangis bayi singgah di telinga. Ibunya selamat. Lelaki itu bersujud mencium tanah dan kemudian menghampirinya sambil berkata, "Siapakah engkau, yang begitu mulia menolong kami?"
Lelaki ini tidak perlu memberikan jawaban karena suara Ummi Kultsum saat itu memenuhi lengang udara, "Wahai Amirul Mukminin, ucapkan selamat kepada tuan rumah, telah lahir seorang anak laki-laki yang gagah."
***
Sahabat, betapa terpesona, mengenang kisah indah Khalifah Umar bin Khatab. Ia adalah seorang pemimpin negara, tapi sejarah mengabadikan kesehariannya sebagai orang sederhana tanpa berlimpah harta. Ia adalah orang yang paling berkuasa, tapi lembaran kisah hidupnya begitu penuh kerja keras dalam mengayomi seluruh rakyatnya. Ia adalah orang nomor satu tapi siang dan malamnya jarang dilalui dengan pengawal. Ia seorang penyayang meski kepada seekor burung. Ia sanggup berlari tanpa henti demi menolong seorang perempuan tak dikenal yang akan melahirkan. Dan ia melakukannya sendiri. Ia melakukannya sendiri.

*husnul mubarikah

Dual Boot Win7 &Linux

Kelebihan Linux dari pada Windows :
1. Ini Linux Free of Charge (Gratis)
2. Sangat terbebas virus. Virus tidak akan berjalan di Linux.
3. Driver terdeteksi secara otomatis ketika menginstall Linux. Seperti VGA, Sound Card, USB, dll. Jadi langsung jalan
4. Dengan adanya Gnome seperti pada Ubuntu ini atau KDE yang membuat tampilan Linux berbasis GUI (Graifcal User Interface) yang menarik.
5. Terdapatnya beberapa komunitas yang membantu kita to solve problem jika ada kesulitan yang berhubungan dengan Linux, anda tinggal gabung saja dikota anda atau gabung di milis, misal dimilis ini http://klublinuxbandung@googlegroups.com or coba gabung di Linux.or.id jika kita mahasiswa Infomatika, wajib untuk migrasi ke Linux.
6. Efisien.
7. Installed OpenOffice, Firefox, AutoDetect juga, etc.
Berikut adalah langkah-langkah meng-install Linux di windows 7 :
Cara-cara yang dijelaskan dibawah ini adalah cara install Ubuntu di Windows sebagai aplikasi.
1. Masukan CD Linux dan jalankan aplikasinya.
2. Muncul tampilan Ubuntu Menu, karena akan meng-install Ubuntu di Windows maka klik Install Inside Windows.
3. Akan muncul tampilan Ubuntu installer. Pilih opsi-opsi yang diinginkan. Masukan usernambe dan password secara benar, karena akan di inpitkan saat pertama kali masuk ke Linux. Jika sudah klik install.
4. Tunggu sampai proses instalasi selesai. Hanya memerlikan waktu beberapa menit untuk install di windowsnya.
5. Ketika proses instalasi selesai, pilih Reboot Sekarang.
6. Setelah reboot, akan muncul tampilan dual boot Windows 7 dan Ubuntu. Pilih Ubuntu, selanjutnyakan diteruskan proses instalasi Ubuntu. Memerlukan waktu kira-kira 15-20 menitan.
7. Setelah proses instalasi Ubuntu selesai, akan muncul tampilan Log On Screen. Masukan Username dan password yang telah di inputkan pada proses nomor 3 tadi.
8. Proses Instalasi Linux Ubuntu telah selesai. Sekarang bisa digunakan.

Karena cara di atas merupakan cara install Linux Ubuntu di Windows. Maka pengaturan bisa dilakukan di Windows. Untuk memilih default OS mana yang dinginkan. Dan di Windows dianggap sebagai aplikasi, bisa dilihat dengan cara, Klik Start >> Control Panel >> Program and Features.
Untuk memilih default OS yang dinginkan apakah Ubuntu atau Windows, caranya adalah, Klik kanan pada Computer yang ada di desktop Windows >> Properties. Muncul tampilan dari system windows, lalu klik Advanced System Settings. Setelah diklik muncul tampilan System Properties, klik Tab Advanced, pada bagian Startup and Recovery klik Setting. Pada Default Operating System, pilih OS yang dinginkan pada saat boot. Klik Ubuntu jika ingin deafaultnya Ubuntu, jika sudah dipilih klik OK

Nge-Net Gratis

bagi anda yang emang gak pernah punya duit lebih buat ngenet di warnet kayaknya tips ini cukup membantu juga,itung itung kasih kesenangan buat yang gak pernah bisa lama lama di warnet. hahay gini caranya:..

1. pertama tama silahkan pergi ke warnet bagi yang gak punya duit atau punya duit tapi pas pasan. (inget!! bagi yang gak punya duit)
2. cari komputer yang kosong dan masuk billing seperti biasa
3. setelah itu buka program ms word a

Kuliah Fisika Zat Padat

Gerak Harmonik pada Ayunan Puntir


  1. Landasan Teori


Gerak harmonik pada ayunan puntir

Sebuah benda tegar yang digantung dari suatu titik yang merupakan pusat massanya akan berosilasi ketika disimpangkan dari posisi kesetimbangannya. Sistem seperti ini disebut Bandul Puntir.

sebuah bandul puntir, yang terdiri dari benda yang digantung dengan kawat yang disangkutkan pada titik tetap. Bila dipuntir hingga sudut θ, kawat akan mengerjakan suatu torka pemulih yang sebanding dengan θ;

τ = -κ.θ

Dimana κ = konstanta puntir

Nilai konstanta itu dapat dicari dengan menerapkan torka yang diketahui untuk memuntir kawat dan mengukur simpangan sudut θ yang terjadi. Jika I adalah momen inersia benda terhadap sumbu sepanjang kawat , Hukum II Newton untuk gerak rotasi memberikan:




Persamaan gerak harmonik  pada ayunan puntir
Maka frekuensi angular

Dan Periode gerak osilasi memenuhi persaaan:
dengan                        P= periode osilasi
                                    I = momen kelembaman terhadap sumbu rotasi,dan
                                      = konstanta puntir


Perhatikan bahwa kita tidak melakukan sudut kecil.Gerak bandul puntir merupakan gerak harmonik sederhana sepanjang torka pemulih berbanding lurus dengan sudut puntiran. Hal seperti itu terjadi sepanjang batas elastik  kawat untuk tegangan geser tidak terlampaui.Roda penyeimbang dalam jam merupakan bandul puntir seperti halnya timbangan puntir Cavendish.


Momen Inersia

Momen gaya dan percepatan sudut adalah analogi dari gaya dan percepatan linear.Untuk mengembangkan analogy dari hukum Newton untuk gerak rotasi, masi perlu mencari analogi dari massa. Massa dalam gerak linear adalah ukuran inersia suatu benda, yaitu kecenderungan benda untuk mempertahankan posisinya. Untuk gerak rotasi, yaitu kecenderungan untuk tidak mengalami perubahan ini, di samping ditentukan oleh massa, juga dipengaruhi oleh pola distribusi massa terhadap sumbu putar yang disebut momen inersia. Jadi, analogi dari massa pada gerak linear adalah momen inersia pada gerak rotasi.




a.   Momen Inersia Partikel


Momen inersia (lambang I) dari sebuah partikel bermassa m terhadap poros  yang terletak sejauh r dari massa partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel terhadap kuadrat jarak dari titik poros, atau ditulis:

                                                                                    ………. (2.1)         
Jika terdapat banyak partikel dengan massa masing-masing m1, m2, m3,.......dan mempunyai jarak r1, r2, r3,……terhadap poros, momen inersia total adalah penjumlahan momen inersia setiap partikel, yaitu


                                                                                                         …….(2.2)                                                                 


b.    Momen Inersia Benda Tegar

Apabila sebuah benda pejal terdiri dari distribusi materi yang kontinu, maka kita dapat menganggap benda terdiri dari sejumlah besar elemen massa dm yang tersebar merata di seluruh benda, dan momen inersia benda adalah jumlah dari momen inersia semua elemen massa tersebut, r2 dm (Gambar 4). Untuk dm yang jumlahnya banyak, penjumlahan menjadi sebuah integral
                                                                                    ……….. (2.3)             



dengan batas-batas integral yang dipilih sehingga mencakup seluruh benda.

Momen inersia suatu bentuk tertentu dapat memiliki lebih dari satu momen inersia, karena momen inersia, karena momen inersia tergantung pada sumbu rotasi.Salah-satunya adalah:



  1. Hipotesis

Dalam menentukan konstanta puntir  pada selinder pejal digunakan persamaan metode ayunan puntir yaitu:



BAB III
METODE PENELITIAN


  1. Alat dan Bahan

Adapun Alat dan Bahan yang digunakan dalam praktikum ini adalah:

Ø  Statif, 1 Buah                             
Ø  Lempengan kayu, 1 Buah
Ø  Kawat tipis
Ø  Neraca Ohauss 310 gr
Ø  Stopwatch
Ø  Mistar

  1. Prosedur Kerja


1.      Menimbang massa selinder pejal dengan menggunakan Neraca Ohauss 310 g (m = …….g)
2.      Mengukur jari-jari selinder pejal dengan menggunakan mistar ( r = ..cm)
3.      Merangkai percobaan seperti pada gambar dibawah ini yang terdiri dari lempengan kayu (selinder pejal), statif dan kawat tipis.

4.      Menambahkan benda jika tidak dalam keadaan seimbang dengan terlebih dahulu menimbang massa benda tersebut kemudian menambahkannya dengan massa selinder kayu pejal yang telah ditimbang massanya
5.      Memutar lempengan kayu dengan sudut tertentu, kemudian lepaskan sehingga benda berisolasi.
6.      Mencatat waktu yang diperlukan untuk 5 kali puntiran
7.      Mengulangi langkah 5 dengan jumlah puntiran yang berlainan, kemudian mencatat waktu lempengan berisolasi.
8.      Mengambil data sebanyak 3 (Tiga) kali.
9.      Mencatat dalam hasil pengamatan.

Thursday 24 March 2011

Kesempurnaan Penciptaan Alam Semesta

Tulisan : Drs Subaer, M.Phil, PhD dan Andi Suryati

BAB I
EPISODE PEMBENTUKAN ATOM
Alam semesta, dengan dimensi yang luasnya tak terjangkau pemahaman manusia, berfungsi pada keseimbangan yang sensitif tanpa pernah gagal. Alam semesta juga berfungsi dengan keteraturan terencana, dan sudah demikian sejak awal pembentukannya. Bagaimana alam raya yang luas ini terwujud, akan menuju ke mana, dan bagaimana hukum-hukum alam bekerja mempertahankan keteraturan dan keseimbangan di dalamnya, selalu menjadi perhatian manusia sejak dulu sampai sekarang. Para ilmuwan telah melakukan penelitian tak terhitung banyaknya mengenai subjek ini dan menghasilkan berbagai teori dan pendapat. Bagi para ilmuwan yang mengukur rancangan dan keteraturan alam semesta dengan menggunakan akal dan kesadaran mereka, tidaklah susah sama sekali untuk menjelaskan kesempurnaan ini. Ini karena Allah, Zat Mahakuasa, Penguasa seluruh jagat raya, yang menciptakan rancangan sempurna ini. Dan ini sangatlah jelas bagi semua orang yang mau berpikir dan bernalar. Allah menyebutkan kebenaran nyata ini dalam ayat Al Quran:
"Sesungguhnya dalam penciptaaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal." (QS. Ali 'Imran, 3: 190)
Akan tetapi, para ilmuwan yang tidak mengindahkan bukti penciptaan itu mengalami kesulitan besar dalam menjawab pertanyaan yang tak ada habisnya ini. Mereka tidak ragu menggunakan segala cara seperti menghasut, membuat teori-teori palsu tanpa dasar ilmiah apa pun. Bila tersudut, mereka bahkan menipu untuk mempertahankan teori-teori yang bertentangan sepenuhnya dengan kenyataan. Namun seluruh perkembangan ilmu pengetahuan yang terjadi hingga awal abad ke-21, membawa kita pada sebuah fakta tunggal; alam semesta diciptakan dari ketiadaan oleh Allah yang Mahakuasa dan Maha Mengetahui.
A.      Penciptaan Alam Semesta
Selama berabad-abad, orang mencari jawaban untuk pertanyaan "bagaimana asal-usul alam semesta". Beribu-ribu model alam semesta telah diajukan dan beribu-ribu teori telah dihasilkan di sepanjang sejarah. Namun tinjauan terhadap semua teori ini mengungkapkan bahwa pada intinya mereka hanya terbagi dalam dua model berbeda. Yang pertama adalah konsep alam semesta tak terbatas tanpa permulaan, yang tidak lagi memiliki dasar ilmiah apa pun. Yang kedua adalah bahwa alam semesta diciptakan dari ketiadaan, yang sekarang ini dikenal dalam masyarakat ilmiah sebagai "model standar".
Text Box:  
Sir Fred HoyleModel pertama, yang telah terbukti tak dapat bertahan, menyatakan bahwa alam semesta telah ada sejak waktu yang tak terbatas dan akan terus bertahan dalam keadaannya yang sekarang ini. Gagasan alam semesta tak terbatas ini telah berkembang sejak zaman Yunani kuno, dan telah menyebar ke dunia barat sebagai hasil filosofi materialistis dan telah dibangkitkan kembali dengan Renaisans. Inti Renaisans adalah pengkajian kembali hasil kerja para pemikir Yunani kuno. Jadi, filosofi materialis dan konsep alam semesta tak terbatas yang dididukung oleh filosofi ini dicomot dari rak sejarah yang berdebu oleh kepentingan ideologis dan filosofis, dan disampaikan pada manusia sebagai fakta-fakta ilmiah.
Penganut materialisme seperti Karl Marx dan Friedrich Engels dengan penuh semangat merangkul gagasan itu, yang jelas menyediakan dasar-dasar kuat untuk ideologi materialistis mereka. Dengan demikian keduanya memainkan peran penting dalam memperkenalkan model ini pada abad ke-20.
Menurut model " alam semesta tak terbatas "- yang sangat populer di paro pertama abad ke-20 - alam semesta tidak memiliki awal maupun akhir. Alam semesta tidak pernah diciptakan dari tidak ada menjadi ada, tidak pula akan hancur. Menurut teori ini, yang juga menjadi dasar untuk filosofi materialis, alam semesta memiliki struktur yang statis. Namun, temuan-temuan ilmiah belakangan menyatakan bahwa teori ini sama sekali salah dan tidak ilmiah. Alam semesta tidak akan ada tanpa awal; alam semesta ini bermula dan telah diciptakan dari ketiadaan.
Gagasan bahwa alam semesta ini tak terbatas, yaitu tidak berawal, selalu menjadi titik awal ateisme dan ideologi yang mengingkari Allah. Ini karena dalam pandangan mereka, bila alam semesta ini tak berawal, berarti tidak ada yang menciptakan. Namun ilmu pengetahuan segera mengungkapkan bukti pasti bahwa argumen-argumen materialis ini tidak berlaku, dan alam semesta diawali dengan sebuah ledakan dahsyat yang disebut Big Bang. Muncul dari sesuatu yang tidak ada hanya berarti satu hal: "Penciptaan". Allah, Yang Mahakuasa, menciptakan seluruh alam semesta.
Ahli astronomi Inggris ternama, Sir Fred Hoyle, adalah salah seorang ilmuwan yang penasaran dengan fakta ini. Dengan teori "steady-state"-nya, Hoyle menerima bahwa alam semesta mengalami perluasan, tetapi tetap berkeras bahwa alam semesta tidak terbatas dalam skalanya dan tanpa awal maupun akhir. Menurut model ini, ketika alam semesta meluas, materi muncul secara spontan dan dalam kuantitas sebesar yang dibutuhkan. Teori ini, yang berlandaskan pada premis-premis yang sangat tidak praktis atau sulit, dan yang diajukan dengan kepentingan tunggal untuk mendukung gagasan "alam semesta tak terbatas tanpa awal atau akhir", bertolak belakang dengan teori Big Bang. Padahal teori Big Bang secara ilmiah telah terbukti dengan sejumlah besar pengamatan. Hoyle dan yang lainnya terus mengingkarinya, namun semua perkembangan ilmu alam menyatakan sebaliknya.
B.      Big Bang dan Perluasan Alam Semesta
Pada abad ke-20, terjadi lompatan besar di bidang astronomi. Pertama, pada tahun 1922, Seorang ahli fisika Rusia, Alexandre Friedmann, menemukan bahwa alam semesta tidak memiliki struktur yang statis. Berpijak pada Teori Relativitas Einstein, Friedmann menghitung bahwa sebuah impuls Text Box:  

Alam semesta terbentuk melalui sebuah ledakan besar (Big Bang). Kesempurnaan sistem alam semesta saat ini berawal dari hamburan partikel dan gaya yang tersusun dalam keharmonisan dan keteraturan yang luar biasa sejak tahap awal ledakan besar ini.kecil saja dapat mengakibatkan alam semesta meluas atau mengerut.
Georges Lemaître, salah seorang ahli astronomi terkenal Belgia, adalah yang pertama kali menyadari pentingnya hitungan ini. Hitungan ini membawanya pada kesimpulan bahwa alam semesta memiliki awal dan terus-menerus meluas sejak permulaan. Ada hal penting lainnya yang diangkat Lemaître: menurutnya, seharusnya ada kelebihan radiasi yang tertinggal dari Big Bang dan ini dapat dilacak. Lemaître yakin bahwa penjelasannya benar walaupun pada awalnya tidak mendapat banyak dukungan dari kalangan ilmuwan. Sementara itu, bukti lebih lanjut bahwa alam semesta meluas mulai bermunculan. Pada waktu itu, Edwin Hubble, seorang ahli astronomi dari Amerika, yang mengamati bintang-bintang dengan teleskop raksasanya, menemukan bahwa bintang-bintang memancarkan cahaya geser merah (red shift) tergantung jarak mereka. Dengan temuan ini, yang diperolehnya di Observatorium Mount Wilson, California, Hubble menantang seluruh ilmuwan yang mengajukan dan membela teori "keadaan-tetap" (steady-state), dan mengguncangkan pondasi model alam semesta yang dianut saat itu.
Temuan-temuan Hubble bergantung pada aturan fisika bahwa spektrum cahaya yang bergerak menuju titik pengamatan cenderung mendekati ungu, sementara spektrum cahaya yang bergerak meninggalkan titik pengamatan cenderung mendekati merah. Ini menunjukkan bahwa benda-benda angkasa yang diamati dari Observatorium Mount Wilson California bergerak menjauhi bumi. Pengamatan selanjutnya mengungkapkan bahwa bintang dan galaksi tidak hanya bergerak menjauhi kita tetapi juga saling menjauhi satu sama lain. Pergerakan benda-benda angkasa ini sekali lagi membuktikan bahwa alam semesta meluas. Dalam buku Stephen Hawking's Universe, David Filkin menyatakan gagasan menarik tentang perkembangan ini:
Text Box:  
¬Bawah: Analisis cahaya dua bintang Alpha Centauri selama beberapa waktu menunjukkan serangkaian perubahan pada spektrumnya. Perubahan cahaya geser merah dan biru menunjukkan gambar dua bintang yang menyelesaikan orbit mengitari satu sama lain sekali setiap 80 tahun.  

Kiri: Edwin HubbleText Box:  
Georges LemaîtreDalam dua tahun, Lemaître mendengar berita yang selama ini berharap pun dia tak berani. Hubble telah mengamati bahwa cahaya dari galaksi adalah geser merah, dan menurut efek Doppler, ini berarti bahwa alam semesta meluas. Kini, ini hanya soal waktu. Einstein tertarik pada kerja Hubble dan memutuskan untuk mengunjunginya di Observatorium Mount Wilson. Pada saat yang sama, Lemaître memberikan kuliah di Institut Teknologi California, dan berhasil menyudutkan sekaligus Hubble dan Einstein. Dia mengajukan teori "atom primitif"-nya dengan hati-hati, selangkah demi selangkah, meyakinkan bahwa seluruh alam semesta telah diciptakan "pada hari yang tidak memiliki hari kemarin". Dengan sangat saksama, dia menjelaskan seluruh perhitungan matematikanya. Ketika selesai, dia tidak dapat memercayai telinganya sendiri. Einstein berdiri dan menyatakan bahwa apa yang baru saja didengarnya adalah "interpretasi yang paling indah dan paling memuaskan yang pernah kudengar" dan selanjutnya mengakui bahwa menciptakan "konstanta kosmologis" adalah "kesalahan terbesar" dalam hidupnya.1
Text Box:  
Albert Einstein, ketika berkunjung ke Observatorium Wilson, tempat Edwin Hubble melakukan pengamatannya.Fakta yang telah mengejutkan Einstein, yang dianggap sebagai salah satu ilmuwan terpenting dalam sejarah, adalah bahwa alam semesta mempunyai permulaan.
Pengamatan lebih jauh pada perluasan alam semesta telah membuka jalan bagi pendapat-pendapat baru. Sejak saat itu, para ilmuwan sampai pada model alam semesta yang semakin kecil apabila seseorang kembali ke masa lampau, dan pada akhirnya mengerut dan konvergen pada satu titik, seperti yang dikemukakan Lemaître. Kesimpulan yang dapat diturunkan dari model ini adalah bahwa pada suatu masa, semua benda alam semesta memadat dalam sebuah titik-massa tunggal yang memiliki "volume nol" karena gaya gravitasinya yang sangat besar. Alam semesta kita menjadi ada sebagai hasil dari ledakan titik-massa yang memiliki "volume nol" ini. Ledakan ini disebut "Big Bang".

Menurut efek Doppler, bila galaksi berjarak tetap dari bumi, spektrum gelombang cahaya akan muncul pada posisi standar (atas). Bila galaksi bergerak menjauhi kita, gelombang itu akan tampak meregang dan geser merah (tengah). Bila galaksi bergerak menuju kita, gelombang akan tampak menciut dan geser biru (bawah)

Big Bang menunjukkan hal lain. Mengatakan bahwa sesuatu memiliki volume nol itu berarti sama dengan mengatakan bahwa sesuatu itu "tidak ada". Seluruh alam semesta ini diciptakan dari sesuatu yang "tidak ada" ini. Selanjutnya, alam semesta ini memiliki awal, bertolak belakang dengan pandangan materialisme, yang beranggapan bahwa "alam semesta adalah kekal".
C.      Big Bang dengan Bukti
Begitu ditetapkan kenyataan bahwa alam semesta mulai terbentuk setelah sebuah ledakan besar, para ahli astrofisika mencapai kemajuan pesat dalam penelitian-penelitian mereka. Menurut George Gamow, apabila alam semesta terbentuk dalam ledakan besar dan tiba-tiba, pastilah tertinggal sejumlah radiasi dari ledakan tersebut yang menyebar rata di seluruh alam semesta.
Pada tahun-tahun setelah hipotesis ini disampaikan, temuan-temuan ilmiah susul-menyusul terjadi, dan semuanya membuktikan kebenaran Big Bang. Pada tahun 1965, dua orang peneliti bernama Arno Penzias dan Robert Wilson menemukan suatu bentuk radiasi yang hingga saat itu tak teramati, yang disebut sebagai "radiasi latar belakang kosmis".
Tanduk Antena raksasa di Laboratorium Bell di mana Arno Penzias dan Robert Wilson menemukan radiasi latar belakang kosmis. Penzias dan Wilson menerima penghargan Nobel untuk temuan ini pada tahun 1978.
 Radiasi ini tidak seperti benda-benda alam semesta lainnya karena keseragamannya yang luar biasa. Radiasi ini tidak terlokalisasi, juga tidak memiliki sumber yang jelas; justru tersebar merata di mana-mana. Segera disadari bahwa radiasi ini adalah peninggalan Big Bang, yang masih memancar sejak ledakan besar itu terjadi. Gamow telah meneliti frekuensi radiasi tersebut, dan menemukan bahwa besarnya mendekati nilai yang telah diramalkan oleh para ilmuwan. Penzias dan Wilson dianugerahi Penghargaan Nobel atas temuan mereka itu.
George Smoot dan tim NASA-nya hanya membutuhkan waktu delapan menit untuk mencocokkan tingkatan-tingkatan radiasi yang dilaporkan oleh Penzias dan Wilson, berkat satelit ruang angkasa COBE. Sensor-sensor yang sensitif pada satelit berhasil memberikan kemenangan baru bagi teori Big Bang. Sensor-sensor itu membenarkan keberadaan suatu bentuk yang rapat dan panas sisa dari Big Bang. COBE memotret sisa-sisa nyata dari Big Bang, dan kelompok ilmuwan dipaksa mengakuinya.
Bukti lainnya berhubungan dengan jumlah relatif Hidrogen dan Helium di alam semesta. Perhitungan menunjukkan bahwa proporsi gas hidrogen-helium di alam semesta cocok dengan hitungan teoretis dari apa yang seharusnya tersisa setelah Big Bang.
Penemuan bukti penting ini menyebabkan teori Big Bang diterima sepenuhnya oleh dunia ilmiah. Dalam sebuah artikel di Scientific American yang terbit bulan Oktober 1994 disampaikan bahwa "model Big Bang adalah satu-satunya model yang diakui pada abad ke-20".
Satu persatu, pengakuan mulai berdatangan dari nama-nama yang mempertahankan konsep "alam semesta tak terbatas" selama bertahun-tahun. Dennis Sciama, yang mempertahankan teori "steady-state" bersama Fred Hoyle, menggambarkan situasi mereka setelah pembuktian Big Bang. Dia berkata bahwa mulanya dia mendukung Hoyle tetapi, setelah bukti mulai menumpuk, dia harus mengakui bahwa permainan ini telah selesai dan teori steady-state harus dibuang.2

Peluncuran satelit COBE mensubstansikan lebih lanjut bahwa alam semesta terbentuk dari suatu ledakan besar.
D.      Allah Menciptakan Alam Semesta dari Ketiadaan
Dengan banyaknya bukti yang ditemukan sains, pendapat yang berhubungan dengan "alam semesta tak terbatas" disingkirkan ke tumpukan sampah sejarah gagasan ilmiah. Namun, pertanyaan-pertanyaan yang lebih penting bermunculan: Apa yang ada sebelum sebelum Big Bang? Kekuatan apa kiranya yang dapat menyebabkan ledakan raksasa yang menghasilkan alam semesta yang sebelumnya tidak ada?
Ada satu jawaban yang dapat diberikan untuk pertanyaan apa yang ada sebelum Big Bang: Allah, Yang Mahakuasa, yang menciptakan bumi dan langit dalam keteraturan sempurna. Banyak ilmuwan, terlepas dari mereka beriman atau tidak, terpaksa mengakui kebenaran ini. Walaupun mereka mungkin menolak untuk mengakui kenyataan ini dalam media ilmiah, pengakuan mereka secara tersirat membongkar rahasia mereka. Anthony Flews, seorang filosof ateis terkenal, berkata:
Jelas sekali, pengakuan itu baik bagi jiwa. Oleh karena itu, saya akan mulai dengan mengakui bahwa penganut ateis Stratonis harus merasa malu dengan konsensus kosmologis dewasa ini. Karena tampaknya para ahli kosmologi menyediakan bukti ilmiah untuk apa yang dianggap St. Thomas tidak terbukti secara filosofis; yaitu, bahwa alam semesta mempunyai permulaan. Selama alam semesta dapat dengan mudah dianggap tidak hanya tanpa akhir, namun juga tanpa permulaan, akan tetap mudah untuk mendesak bahwa keberadaannya yang tiba-tiba, dan apa pun yang ditemukan menjadi ciri-cirinya yang paling mendasar, harus diterima sebagai penjelasan akhir. Meskipun saya mempercayai bahwa teori itu (alam semesta tanpa batas) masih benar, tentu saja tidak mudah atau nyaman untuk mempertahankan posisi ini di hadapan kisah Ledakan Besar. 3
Sebagian ilmuwan seperti H. P. Lipson, fisikawan Inggris yang materialis, mengakui bahwa mereka terpaksa menerima teori Big Bang: Jika benda hidup bukan disebabkan oleh interaksi atom-atom, gaya-gaya alam, dan radiasi, bagaimana dia muncul? … Namun saya rasa, kita harus … mengakui bahwa satu-satunya penjelasan yang paling masuk akal adalah penciptaan. Saya tahu ini aib bagi para fisikawan, termasuk saya, tapi kita tidak boleh menolak apa yang tidak kita sukai bila bukti-bukti eksperimental mendukungnya.4
Kesimpulannya, sains menunjuk pada suatu realita tunggal apakah para ilmuwan materialis menyukainya atau tidak. Benda dan waktu diciptakan oleh Pencipta, Yang Mahakuasa, dan yang menciptakan langit, bumi dan segala sesuatu yang berada di antaranya: Mahakuasa Allah.
"Allah-lah yang menciptakan tujuh langit dan seperti itu pula bumi. Perintah Allah berlaku padanya, agar kamu mengetahui bahwasanya Allah Mahakuasa atas segala sesuatu, dan sesungguhnya Allah, ilmu-Nya benar-benar meliputi segala sesuatu." (QS. Ath-Thalaaq, 65: 12)
E.      Tanda-Tanda Al Quran
Selain menjelaskan alam semesta, model Big Bang mempunyai implikasi penting lain. Seperti yang ditunjukkan dalam kutipan dari Anthony Flew di atas, ilmu alam telah membuktikan pandangan yang selama ini hanya didukung oleh sumber-sumber agama.
Kebenaran yang dipertahankan oleh sumber-sumber agama adalah realitas penciptaan dari ketiadaan. Ini telah dinyatakan dalam kitab-kitab suci yang telah berfungsi sebagai penunjuk jalan bagi manusia selama ribuan tahun. Dalam semua kitab suci seperti Perjanjian Lama, Perjanjian Baru, dan Al Quran, dinyatakan bahwa alam semesta dan segala isinya diciptakan dari ketiadaan oleh Allah.
Dalam satu-satunya kitab Allah yang keutuhannya bertahan, Al Quran, terdapat pernyataan tentang penciptaan alam semesta dari ketiadaan, di samping bagaimana kemunculannya, yang sesuai dengan ilmu pengetahuan abad ke-20, meskipun diungkapkan 14 abad yang lalu.
Pertama, penciptaan alam semesta dari ketiadaan diungkapkan dalam Al Quran sebagai berikut:
"Dia Pencipta langit dan bumi. Bagaimana Dia mempunyai anak padahal Dia tidak mempunyai istri. Dia menciptakan segala sesuatu; dan Dia mengetahui segala sesuatu." (QS. Al An'aam, 6: 101)
Aspek penting lain yang diungkapkan dalam Al Quran empat belas abad sebelum penemuan modern Big Bang dan temuan yang berkaitan dengannya adalah bahwa ketika diciptakan, alam semesta menempati volume yang sangat kecil:
"Dan apakah orang-orang yang kafir tidak mengetahui bahwasanya langit dan bumi itu keduannya dahulu adalah suatu yang padu, kemudian kami pisahkan antara keduanya. Dan dari air kami jadikan segala sesuatu yang hidup. Maka mengapakah mereka tiada juga beriman?" (QS. Al Anbiyaa', 22: 30)
Terjemahan ayat di atas mengandung pemilihan kata yang sangat penting dalam bahasa aslinya, bahasa Arab. Kata ratk diterjemahkan "suatu yang padu" yang berarti "bercampur, bersatu" dalam kamus bahasa Arab. Kata itu digunakan untuk merujuk dua zat berbeda yang menjadi satu. Frase "Kami pisahkan" diterjemahkan dari kata kerja bahasa Arab, fatk yang mengandung makna bahwa sesuatu terjadi dengan memisahkan atau menghancurkan struktur ratk. Tumbuhnya biji dari tanah adalah salah satu tindakan yang menggunakan kata kerja ini.
Mari kita tinjau lagi ayat tersebut dengan pengetahuan ini di benak kita. Dalam ayat itu, langit dan bumi pada mulanya berstatus ratk. Mereka dipisahkan (fatk) dengan satu muncul dari yang lainnya. Menariknya, para ahli kosmologi berbicara tentang "telur kosmik" yang mengandung semua materi di alam semesta sebelum Big Bang. Dengan kata lain, semua langit dan bumi terkandung dalam telur ini dalam kondisi ratk. Telur kosmik ini meledak dengan dahsyat menyebabkan materinya menjadi fatk dan dalam proses itu terciptalah struktur keseluruhan alam semesta.
Kebenaran lain yang terungkap dalam Al Quran adalah pengembangan jagat raya yang ditemukan pada akhir tahun 1920-an. Penemuan Hubble tentang geser merah dalam spektrum cahaya bintang diungkapkan dalam Al Quran sebagai berikut:
"Dan langit itu Kami bangun dengan kekuasaan (Kami) dan sesungguhnya Kami benar-benar meluaskannya." (QS. Adz-Dzaariyat, 51: 47)
Singkatnya, temuan-temuan ilmu alam modern mengarah pada kebenaran yang dinyatakan dalam Al Quran dan tidak mendukung dogma materialis. Materialis boleh saja menyatakan bahwa semua itu "kebetulan" namun fakta yang jelas adalah bahwa alam semesta terjadi sebagai hasil penciptaan Allah dan satu-satunya pengetahuan yang benar tentang asal mula alam semesta ditemukan dalam sabda Allah yang diturunkan kepada kita.

persamaan Schrodinger

Perbedaan pokok antara mekanika (Newton) dan mekanika kuantum terletak pada cara menggambarkannya. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel telah ditentukan oleh kedudukan awal, momentum awal serta gaya-gaya yang beraksi padanya. Dalam dunia makroskopik, kuantitas ini semuanya dapat ditentukan dengan ketelitian yang cukup sehingga mendapatkan ramalan mekanika Newton yang cocok dengan pengamatan.
Mekanika kuantum juga menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tetapi prinsip ketidakpastian menyaran-kan bahwa kuantitas teramati bersifat berbeda dalam kawasan atomik. Sebab dan akibat masih berhubungan dengan mekanika kuantum tetapi memerlukan tafsiran yang hati-hati. Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang karakteristik masa depan seperti pada mekanika Newton tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan momentum awal partikel tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.
Kuantitas yang hubungannya dijelajahi oleh mekanika kuantum ialah peluang (probability). Kita belum dapat memastikan, misalnya jari-jari orbit elektron dalam keadaan dasar atom hidrogen selalu tepat sama dengan    5,3 x 10-11 m, mekanika kuantum memberikan jari-jari dengan peluang terbesarnya. Jika melakukan eksperimen yang cocok, banyak percobaan yang menghasilkan harga yang berbeda, bias lebih besar atau lebih kecil, tetapi sebagian besar berpeluang besar didapatkan sama dengan 5,3 x 10-11 m.
Sepintas kita dapat mengira bahwa mekanika kuantum merupakan pengganti yang jelek dari mekanika klasik. Akan tetapi, pemeriksaan yang lebih teliti mengungkapkan kenyataan yang mengejutkan : mekanika klasik tisak lain dari pada versi aproksimasi dari mekanika kuantum. Kepastian yang dinyatakan oleh mekanika klasik hanya merupakan bayang-bayang, dan kecocokan dengan eksperimen timbul sebagai konsekuensi kenyataan bahwa benda makroskopik terdiri dari banyak atom individu yang menyimpang dari perilaku rata-rata tidak teramati. Sebagai ganti kumpulan prinsip fisis, salah satu untuk alam makroskopik dan yang lain untuk alam mikroskopik, ternyata hanya ada satu kumpulan, dan mekanika kuantum mengungkapkan usaha kita yang terbaik sampai saat ini untuk merumuskannya.

 

3.1.        Fungsi dan Persamaan Gelombang SchrÖdinger

Seperti yang diterangkan pada pembahasan materi  sebelumnya, kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang Y dari benda itu, maka pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa Persamaan gelombangnya harus memenuhi persyaratan  dan memiliki banyak solusi. Walaupun Y sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besaran mutlaknya |Y|2 (atau sama dengan YY* jika Y kompleks) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut dan energi dari benda dapat diperoleh dari Y. Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan Y dari benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal.
Dalam kejadian itu, fungsi gelombang Y adalah kompleks, dengan bagian real maupun imajiner, kerapatan peluang |Y|2 diberikan oleh hasil kali Y*Y dari Y dan Konjugate Kompleks Y*. Konjugate kompleks dari sembarang fungsi diperoleh dengan mengganti i (= ) dengan – 1 di manapun konjugate kompleks tadi tampil dalam fungsi. Setiap fungsi kompleks Y dapat ditulis dalam bentuk

            Y = A + iB
Dengan A dan B adalah fungsi real. Konjugate kompleks Y* dari Y adalah

                        Y* = AiB
Dengan demikian

                        Y*Y = A2i2B2 = A2 + B2

Karena i2 = -1. Jadi Y*Y akan selalu berupa kuantitas real positif.
            Bahkan, sebelum kita meninjau perhitungan awal dari Y, kita dapat membangun persyaratan yang harus dipenuhinya. Karena |Y|2 berbanding lurus dengan kerapatan peluang P untuk mendapatkan benda yang diperikan (digambarkan) oleh Y, integral |Y|2 ke seluruh ruang harus berhingga – benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika

                       

Partikel itu tidak ada, dan integralnya jelas tidak bisa ¥ dan tetap berarti sesuatu; |Y|2 tidak bisa negatif atau kompleks karena cara didefinisikannya, sehingga satu-satunya kemungkinan yang tertinggal ialah suatu kuantitas yang berhingga supaya Y memang memberikan benda real.
            Biasanya untuk memudahkan, kita ambil |Y|2 sama dengan kerapatan (densitas) peluang P untuk mendapatkan partikel yang digambarkan oleh Y, ketimbang hanya berbanding lurus dengan P. jika |Y|2 sama dengan P, maka benar bahwa
                                                                           (3.1)
Karena
                       
Ialah suati pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat. Jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu.
            Fungsi gelombang yang memenuhi Persamaan (3.1) dinamakan ternormalisasi. Setiap fungsi gelombang yang bisa dipakai dapat dinormalisasikan dengan mengalikannya dengan tetapan yang sesuai; kita akan melihat hal ini dengan segera bagaimana hal ini dilakukan.
            Di samping bisa dinormalisasi, Y harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu, dan kontinu. Peninjauan momentum memberi syarat bahwa turunan parsial

                       

Harus berhingga, kontinu dan berharga tunggal. Hanya fungsi gelombang dengan sifat-sifat tersebut dapat memberikan hasil yang berarti fisis jika dipakai dalam perhitungan, jadi hanya fungsi gelombang yang ”berperilaku baik” yang diizinkan sebagai representasi matematis dari benda nyata.
            Jika kita sudah mempunyai fungsi gelombang Y yang ternormalisasi dan dapat diterima, peluang (kemungkinan) partikel dapat ditemukan pada suatu daerah tertentu ialah integral kerapatan peluang |Y|2 dalam daerah itu terhadap volume. Untuk partikel yang geraknya terbatas pada arah – x, maka peluang untuk mendapatkan partikel antara x1 dan x2 ialah
                                                             (3.2)
            Persamaan SchrÖdinger yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanika Newton, adalah Persamaan gelombang dalam variabel Y. Sebelum kita menangani Persamaan SchrÖdinger, terlebih dahulu kita tinjau ulang Persamaan gelombang.

                                                                         (3.3)

Yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v. Dalam kasus gelombang pada tali terbentang, y menyatakan pergeseran tali dari sumbu x ; dalam kasus gelombang bunyi, y menyatakan perbedaan tekanan, dalam kasus gelombang cahaya, y menyatakan besarnya medan listrik atau elektronon. Persamaan gelombang seperti di atas diturunkan dalam buku mekanika untuk gelombang mekanis dan dalam buku kelistrikan dan kemagnetan gelombang elektromagnetik.

Contoh 3.1.

Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbu x adalah :

                        y (x) = Ce - | x | sin a x
a.    Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang ternormalisasi.
b.    Jika a = p, hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di sebelah kanan x = 1.

Penyelesaian :
a.    Secara eksplisit y (x) diberikan oleh


 





Sehingga


 





Tampak bahwa fungsi terakhir adalah fungsi genap, karena itu
               
Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk eksponensial dan diperoleh

  
           
           
           

Diperoleh konstanta normalisasi C :


 
            Sehingga
                                



b.    Besar kemungkinan partikel berada di x ³ 1
           
           
            Untuk a = p,
           

3.1.1.    Persamaan SchrÖdinger : Bergantung – Waktu
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y tidak seperti y, bukanlah suatu kuantitas yang dapat terukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggap Y dalam arah x dinyatakan oleh

                                             (3.4)

Jika kita ganti w dalam rumus di atas dengan 2p  dan v dengan l, diperoleh

                                                                    (3.5)
Yang bentuknya menguntungkan, karena kita telah mengetahui hubungan  dan l dinyatakan dalam energi total E  dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh Y. Karena
                      dan     


Diperoleh
                                                                 (3.6)
           
Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.
            Pernyataan fungsi gelombang Y yang diberikan dalam Persamaan (3.6) hanya berlaku untuk partikel yang bergerak bebas, sedangkan kita lebih tertarik pada situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan. Yang harus kita lakukan sekarang adalah mendapatkan Persamaan diferensial pokok untuk Y, kemudian memecahkan Y untuk situasi yang khusus. Persamaan ini, yang disebut Persamaan SchrÖdinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama : Persamaan itu tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena Persamaan itu menyatakan sesuatu yang baru. Apa yang akan dilakukan di sini adalah menunjukkan suatu cara untuk memperoleh Persamaan gelombang Y, kemudian membahas pentingnya hasil tersebut.
            Kita mulai dengan mendiferensiasi Persamaan (3.6) dua kali terhadap x yang menghasilkan

                                                                       (3.7)

dan sekali terhadap t, diperoleh
                                                                                    (3.8)

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi elektrono p2/2m dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :

                                                                           (3.9)

Fungsi V menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel. Tentu saja, hanya sebagian dari semesta yang berinteraksi dengan partikel ; misalnya dalam kasus elektron dalam atom hidrogen, hanya medan listrik inti yang diperhitung-kan.
            Dengan mengalikan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungsi gelombang Y, akan menghasilkan :
                                   
                                     (3.10)

Dari Persamaan (3.7) dan (3.8), dapat dilihat bahwa

                                            (3.11)
Dan
                                        (3.12)

dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E Y dan p 2 Y dalam Persamaan (3.10) akan diperoleh
                                     (3.13)

Persamaan terakhir ini adalah Persamaan SchrÖdinger yang Bergantung – Waktu. Dalam tiga dimensi, Persamaan SchrÖdinger bergantung – waktu diberikan oleh

                            (3.14)
Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z, dan t.
Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x, t) diberikan oleh

                       (3.15)
           
Setiap pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi potensial V. Sekali bentuk V diketahui, Persamaan Schrodinger – nya dapat dipecahkan untuk mendapatkan fungsi gelombang partikel Y, sehingga kerapatan peluang |Y|2 dapat ditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu.
Di sini Persamaan SchrÖdinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdinger untuk kasus khusus partikel bebas (energi potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(x, y, z, t )] merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara “a priori” yang membuktikan perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa Persamaan SchrÖdinger berlaku, pecahkan untuk berbagai situasi fisis dan bandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya sesuai, maka postulat yang terkait dalam Persamaan SchrÖdinger sah ; jika tidak sesuai, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijejaki. Dengan kata lain, Persamaan SchrÖdinger tidak bisa diturunkan dari ”prinsip pertama”, tetapi Persamaan itu merupakan prinsip pertama.
            Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Tentu saja, harus kita ingat bahwa Persamaan (3.14) hanya bisa dipakai untuk persoalan non – relativistik dan rumusan yang lebih memakan pikiran diperlukan jika kelajuan partikel yang mendekati kecepatan cahaya tertkait. Karena Persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas-batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa Persamaan SchrÖdinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.

3.1.2.    Persamaan SchrÖdinger : Keadaan Stasioner (Tunak)

Dalam banyak situasi, energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit ; gaya yang beraksi padanya ; jadi V, hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, Persamaan SchrÖdinger dapat disederhanakan dengan meniadakan kebergantungan terhadap waktu t.
Mula-mula kita perhatikan bahwa fungsi gelombang Y satu dimensi partikel bebas dapat ditulis
                       
 
                                                          (3.16)

Ini berarti, Y merupakan hasil kali fungsi bergantung – waktu    e–(iE/ħ)t  dan fungsi yang bergantung kedudukan y. Kenyataannya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti partikel bebas. Dengan mensubstitusikan Y dari Persamaan (3.16) ke Persamaan SchrÖdinger yang bergantung – waktu, diperoleh

             (3.17)

Sehingga, jika dibagi dengan faktor eksponensial itu,

                                                    (3.18)

Persamaan (3.18) merupakan bentuk keadaan – tunak Persamaan SchrÖdinger. Dalam tiga dimensi menjadi

                               (3.19)
           
Pada umumnya, Persamaan keadaan – tunak SchrÖdinger dapat dipecahkan hanya untuk harga E tertentu. Dalam pernyataan itu tidak ditimbulkan oleh kesukaran matematis yang mungkin ada, tetapi oleh sesuatu yang lebih mendasar (fundamental). ”Memecahkan” Persamaan SchrÖdinger untuk suatu sistem berarti memperoleh suatu fungsi gelombang y  yang tidak saja memenuhi Persamaan dan syarat batas yang ada, tetapi juga harus memenuhi syarat bisa diterimanya fungsi gelombang – yaitu turunannya harus kontinu, berhingga, dan berharga tunggal. Bila tidak terdapat fungsi gelombang seperti itu, system itu tidak mungkin berada dalam keadaan tunak.
            Jadi kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.
Suatu analogi yang sangat dekat dan sudah dikenal bagaimana kuantisasi energi timbul dalam memecahkan Persamaan SchrÖdinger ialah dalam tali terpentang yang panjangnya L yang keduanya ujungnya terikat. Dalam hal ini, sebagai ganti gelombang tunggal yang menjalar terus-menerus dalam satu arah, gelombang akan menjalar dalam arah +x dan  –x secara serentak dengan syarat bahwa pergeseran y selalu nol pada kedua ujung tali. Suatu fungsi y (x, t) yang dapat diterima untuk menyatakan pergeseran (simpangan) dengan turunannya, harus seperti y  yang berperilaku baik dengan turunannya, dan lagi harus real karena y menyatakan suatu kuantitas yang dapat diukur langsung. Satu-satunya pemecahan Persamaan gelombang

                                   

Yang sesuai dengan berbagai pembatasan itu ialah pemecahan yang panjang gelombangnya memenuhi

                               ;           n = 0, 1, 2, 3, …..

Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.1.


 













Kombinasi Persamaan gelombang dan pembatasan yang merupakan syarat pemecahannyalah yang mendorong kita untuk menyimpulkan bahwa y (x, t) hanya dapat ada untuk panjang gelombang tertentu ln.

Contoh 3.2. :
Sebuah partikel bergerak yang memenuhi Persamaan :
                       
Hitunglah energi dan momentum partikel tersebut.

Penyelesaian :
           
      
                                                                                                       
                             

Jadi besarnya energi yang dimiliki partikel tersebut adalah : 31,65 x 10 – 34 J.
           
                               
Jadi momentum dari partikel tersebut adalah : 52,75 x 10 – 34 kg m/s.


3.1.3.    Harga Ekspektasi, Operator, Fungsi dan Harga Eigen

Sekali lagi, seandainya fungsi gelombang Y sudah diperoleh, kita dapat mengajukan beberapa pertanyaan lagi. Misalnya, di manakah partikel sering berada atau berapa momentum rata-rata partikel? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Ehrenfest.
Karena kita tidak dapat lagi berbicara dengan suatu kepastian tentang kedudukan partikel, maka kita tidak dapat pula menjamin kepastian hasil satu kali pengukuran suatu besaran fisika yang bergantung pada kedudukannya. Namun demikian, jika kita dapat menghitung probabilitas yang berkaitan dengan setiap koordinat, maka kita dapat menemukan hasil yang mungkin dari suatu pengukuran satu kali atau rata-rata hasil dari sejumlah besar pengukuran berkali-kali. Sebagai contoh, andaikanlah kita ingin mencari rata-rata kedudukan sebuah partikel dengan mengukur koordinat x – nya. Dengan melakukan sejumlah besar pengukuran berkali-kali, kita dapati bahwa dengan mengukur nilai x1 sebanyak n1 kali, x2 sebanyak n2, dan seterusnya, maka dengan cara yang lazim, kita dapat memperoleh nilai rata-ratanya, yaitu

 

Jika kita mempersoalkan sebuah partikel, kita harus mengganti bilangan ni dari partikel xi  dengan peluang Pi  bahwa partikel itu bisa didapatkan dalam selang dx di xi. Besar peluang ini adalah
                                               
Pi = | Yi |2 dx

Dengan Yi   merupakan fungsi gelombang partikel yang diambil pada x = xi. Dengan substitusi ini dan mengubah jumlah dengan integral, kita lihat bahwa harga rata-rata kedudukan partikel tunggal ialah

                                         (3.20)

Jika Y merupakan fungsi gelombang yang ternormalisasi, penyebut dalam Persamaan (3.20) sama dengan peluang bahwa partikel itu terdapat di suatu tempat antara x = - ¥ dan   x = ¥, sehingga harganya = 1. Dalam kasus ini

                                          (3.21)

Persamaan (3.21) ini menyatakan harga bahwa áxñ terletak pada pusat massa (elektronon begitu) dari |Y|2 ; jika |Y|2 diplot terhadap x pada suatu grafik dan bidang yang dibatasi kurva dan sumbu x digunting, titik setimbangnya ialah áxñ.
Nilai rata-rata yang dihitung menurut Persamaan (3.21) dikenal sebagai harga ekspektasi (expectation values).
Prosedur yang sama dengan yang telah dilakukan di atas dapat dipakai untuk memperoleh harga ekspektasi áG(x)ñ dari suatu kuantitas [misalnya, energi potensial V(x)] yang merupakan fungsi dari kedudukan partikel x yang digambarkan oleh fungsi gelombang Y. Hasilnya adalah

                                         (3.22)
           
Harga ekspektasi momentum ápñ tidak dapat dihitung dengan cara biasa yang demikian sederhana, karena sesuai dengan prinsip ketidakpastian, tidak ada fungsi seperti p(x) yang dapat berlaku. Jika kita menentukan x,  sehingga dengan demikian Dx = 0, kita tidak dapat menentukan p yang bersesuaian karena Dx Dp ³ h/2. Masalah yang sama terjadi untuk harga ekspektasi energi áEñ.                      
Pada bagian sebelumnya kita lihat bagaimana harga ekspektasi dapat diperoleh dari kuantitas yang merupakan fungsi posisi x dari partikel yang dinyatakan oleh fungsi gelombang Y. Jadi kita dapat memperoleh harga ekspektasi pada setiap saat t dari harga x, dan energi potensial partikel V(x), keduanya merupakan bagian dari pemerian yang lengkap dari keadaan partikel. Kuantitas dinamis yang lain, seperti momentum p dan energi E, tidak dapat diperlakukan dengan cara yang sama. Harga Ekspektasi dari p dan E harus dihitung dari :
                                   
                                   

Persamaan ini sangat langsung, sampai kita menyadari bahwa karena  Y = Y (x, t), harus menyatakan p dan E sebagai fungsi dari x dan t supaya kita dapat melakukan integrasi, tetapi prinsip ketidakpastian mengakibatkan tidak terdapatnya fungsi seperti p(x, t) dan E(x, t) ; sekali x, dan t ditentukan, hubungan
                       

                       

berarti bahwa kita tidak dapat, pada prinsipnya, menentukan    p dan E secara eksak.
Dalam fisika klasik tidak terdapat pembatasan seperti itu, karena dalam dunia makroskopik prinsip ketidakpastian dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak kedua pada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk mendapatkan p(x, t) dan E(x, t) dari solusinya seperti juga x(t) ; untuk memecahkan persoalan tersebut dalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menentukan tempuhan masa depan gerak benda tersebut. Dalam fisika kuantum, di pihak lain, semua yang kita dapatkan secara langsung dari Persamaan SchrÖdinger dari gerak partikel itu ialah fungsi gelombang Y, dan tempuhan masa depan gerak partikel itu – seperti juga keadaan awalnya – hanya diketahui peluangnya, alih-alih sesuatu yang sudah tertentu.
Saran untuk mendapatkan  dan  dengan cara yang benar ialah dengan mendiferensiasi fungsi gelombang partikel – bebas Y = A e – (i/ħ)(Et – px) terhadap x dan t. Diperoleh



yang dapat ditulis dengan cara

                                           (3.23)
                                          (3.24)

Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator diferensial  dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator diferensial  (Operator memberikan informasi kepada kita operasi apa yang harus dilakukan pada kuantitas yang ditulis setelahnya.  menginstruksikan kepada kita untuk mengambil turunan yang terdapat setelahnya terhadap t dan hasilnya dikalikan dengan ).
Kita biasa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga p merupakan operator yang bersesuaian dengan momentum p dan E ialah operator yang bersesuaian dengan energi E. Dari Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) operator ini ialah

      (Operator momentum)                   (3.25)
      (Operator energi)                            (3.26)
           
Walaupun kita hanya menunjukkan persesuaian yang dinyatakan dalam Persamaan (3.25) dan Persamaan (3.26) berlaku untuk partikel bebas, hubungan itu ternyata berlaku umum yang kesahannya dengan kesahan Persamaan SchrÖdinger. Untuk mendukung pernyataan ini,  kita dapat mengganti Persamaan  E = T + V untuk energi total partikel dengan Persamaan operator

E = T + V                                                      (3.27)

karena energi kinetik T dinyatakan dengan momentum p menurut hubungan
                                   
diperoleh
                  (3.28)

yang kita sebut “operator energi – kinetik”.
Persamaan (3.27) dapat ditulis sebagai berikut.

                              (3.29)

Sekarang kita kalikan identitas Y = Y dengan Persamaan (3.29), diperoleh
                                   
                        (3.30)

yang merupakan Persamaan SchrÖdinger. Mempostulatkan Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) setara dengan mempostulatkan Persamaan SchrÖdinger.
            Karena p dan E dapat diganti dengan operator yang bersesuaian dalam Persamaan, kita dapat memakai operator ini untuk mendapatkan harga ekspektasi dari p dan E. Jadi harga ekspektasi p ialah

    (3.31)

dan harga ekspektasi untuk E adalah

 (4.32)

keduanya Persamaan (3.31) dan Persamaan (3.32) dapat dihitung untuk fungsi gelombang yang dapat diterima Y (x, t).
            Jelaslah bahwa kita perlu menyatakan harga ekspektasi yang bersangkutan dengan operator dalam bentuk
                                   
                       

Alternatif lain ialah

karena Y* dan Y harus 0 di x = ± ¥ dan

           

tidak mempunyai arti. Dalam kasus kuantitas aljabar seperti x dan V(x) urutan faktor dalam integran tidak penting, tetapi jika operator diferensial terlibat, urutan yang benar dari faktor itu harus diteliti.
            Setiap kuantitas yang teramati G yang merupakan karakteristik suatu elektron fisis dapat dinyatakan dengan operator mekanika – kuantum yang cocok G. Untuk memperoleh operator ini, kita perlu menyatakan G dalam x dan p dan mengganti p dengan . Fungsi gelombang Y dari sistem diketahui, maka harga ekspektasi G(x, p) ialah

                         (3.33)

(Harga Ekspektasi Operator)

Hasil ini memperkuat pernyataan yang dibuat sebelumnya bahwa dari Y dapat diperoleh semua informasi mengenai elektron yang diperbolehkan oleh prinsip ketidakpastian.
            Persyaratan bahwa variabel dinamis tertentu G terbatas pada harga diskrit Gn – dengan kata lain G terkuantisasi – ialah fungsi gelombang yn dari elektron sedemikian sehingga
            G yn = Gn yn (Persamaan Harga – Eigen)           (3.34)
dengan G menyatakan operator yang bersesuaian dengan G dan masing-masing Gn merupakan bilangan real. Bila Persamaan (3.34) berlaku untuk fungsi gelombang sebuah elektron, postulat pokok (kenyataannya, satu-satunya postulat pokok) dari mekanika kuantum bahwa pengukuran G hanya dapat menghasilkan satu harga Gn. Jika pengukuran G dilakukan pada sejumlah elektron identik semua berada dalam keadaan yang diperikan oleh fungsi – eigen yk, masing-masing pengukuran menghasilkan harga tunggal Gk.
            Operator energi total E dari Persamaan (3.27) biasanya ditulis sebagai,

                                  (3.35)

dan disebut operator Hamiltonian; kuantitas itu merupakan energi total elektron dinyatakan dalam koordinat dan momentum. Jelaslah Persamaan SchrÖdinger keadaan – tunak dapat ditulis sebagai berikut.

Enyn = Hyn                                       (3.36)
           
Harga energi En supaya Persamaan keadaan – tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga – eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian yn disebut fungsi eigen. (Istilah ini berasal dari bahasa Jerman Eigenwert, yang berarti ”harga karakteristik yang sesungguhnya”, dan Eigenfunktion, atau ”fungsi karakteristik sesungguhnya”).
Tingkat energi diskrit atom hydrogen

                              n = 1, 2, 3, ……..

Merupakan contoh sekelompok harga – eigen. Kita akan lihat pada Bab berikutnya mengapa harga tertentu E yang menghasilkan fungsi gelombang dapat diterima untuk elektron dalam atom elektronon.
            Contoh penting variabel dinamis selain energi total yang didapatkan terkuantisasikan dalam keadaan mantap ialah momentum sudut. Dalam kasus atom elektron, kita akan dapatkan bahwa harga–eigen besar momentum sudut di-tentukan oleh

                                    l = 0, 1, 2, ……(n – 1)
           
Tentu saja, suatu variabel dinamis G boleh tidak terkuantisasi. Dalam hal ini pengukuran G pada sejumlah elektron identik tidak menghasilkan hasil yang unik melainkan harga yang tersebar yang rata-ratanya merupakan harga ekspektasi      
                       
Dalam atom elektron, kedudukan elektronon tidak terkuantisasi, sehingga kita lec membayangkan elektronon berada di sekitar inti dengan peluang tertentu |Y|2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu  yang dapat diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom elektronon selalu menunjukkan bahwa atom itu selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron, dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.


***************************
**************


















A.   Pemahaman Konsep
1.    Hukum Newton dapat dipecahkan untuk meramalkan perilaku kemudian sebuah partikel. Dalam hal apakah persamaan SchrÖdinger juga berperan seperti ini? Dalam hal apakah peran ini tidak berlaku?
2.    Mengapa penting untuk menormalisasikan sebuah gelombang? Apakah gelombang yang tidak ternormalisasi-kan adalah pemecahan persamaan SchrÖdinger?
3.    Apakah arti fisis dari ?
4.    Apakah dimensi dari
5.    Tidak satu pun dari  fungsi-fungsi berikut merupakan pemecahan persamaan SchrÖdinger. Berikan alasannya masing-masing kasus.
a.
    
b.  
c. 

6.    Menurut kamu apa yang dimaksud dengan fungsi eigen dan nilai eigen.













B.   Penerapan Konsep

1.    Anggaplah bahwa y adalah fungsi gelombang dari persamaan Schroedinger partikel tunggal. Didefinisikan vektor A sebagai berikut :


a.    Apakah arti fisis dari A ?
b.    Anggap bahwa y memenuhi persamaan SchrÖdinger dan tentukanlah suatu ekspresi-ekspresi untuk A*

2.    Andaikan bahwa y1 (x,t), y2 (x,t) dan y3 (x,t) masing-masing merupakan solusi dari persamaan SchrÖdinger :


Tunjukkan bahwa kombinasi-kombinasi linear sebarang dari persamaan :


juga merupakan solusi persamaan SchrÖdinger, dimana A1,A2, dan A3 adalah konstanta sebarang.


3.    Apabila persamaan SchrÖdinger :
      Buktikan bahwa :  

4.    Apabila diketahui suatu fungsi gelombang :

        untuk
                  0                                  untuk   dan

a.    Apakah fungsi tersebut merupakan solusi persamaan SchrÖdinger  apabila partikel bebas bergerak pada selang tersebut.
b.    Tentukan nilai eigen energi total E partikel dalam keadaan eksitasi pertama dalam sistem tersebut.
c.    Gambarkan skets fungsi gelombangnya.

5.    Gunakanlah teknik pemisahan variabel untuk memperlihatkan bahwa persamaan SchrÖdinger tiga dimensi untuk potensial bebas waktu adalah :
dengan y (r,t) adalah solusi persamaan SchrÖdinger bebas waktu.
6.    Sebuah partikel bergerak yang memenuhi persamaan :

.

Hitung momentum dan energinya.

7.    Suatu partikel bergerak dengan persamaan gelombangnya adalah
y (x,t) = 20 e i (40 x -50 t)

Tentukan ekspektasi momentum dan energi dari partikel tersebut pada interval koordinat 2 £ x £ 4 dan 3 £ t £ 5

8.    Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbu x adalah :

                        y (x) = Ae - | x | cosa x
a.    Tentukan konstanta A jika fungsi gelombang ternormalisasi.
b.    Jika a = 2p, hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di sebelah kanan x = 1.