Ganggawa di Malam Hari

Orang bilang sangat pekat ini malam Ujung jari tak tampak mereka bilang

Menjadi Seorang Murobbi

“Dan tiadalah Kami mengutus kamu, melainkan untuk (menjadi) rahmat bagi semesta alam” (QS. 21 : 107)

FOTO KKN

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

ISLAMIC CAMP

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNM

Lokasi di Jl Dg Tata Raya, Parangtambung Makassar, Sulawesi Selatan

Saturday 29 October 2011

CAHAYA REDUP

Tatapan pertama
Terpaku oleh sketsa goresan dinding
Kuyakinkan hati
Dipangkuanmu kutemukan cahaya penerang hati

Menapaki jalan berbatu, berdebu dan penuh liku
Setiap langkah penuh ketakutan dan keraguan
Dari waktu ke waktu hanya kecemasan
Bagai jalan dalam kegelapan lorong gua yang gulita

Kurindukan salam mengalun
Kurindukan senyum menyambut
Kurindukan tatapan yang terjaga
Kurindukan manisnya hidup dalam pangkuan kebenaran

Hadirmu telah sekian lama
Namun kau hanya diam membisu
Merekat pada dinding perubahan
Telah ribuan mata memandang, hampa . . .

Hai mata yang memandang
Apakah hatimu kamu masih miliki
Ataukah hatimu telah tercuri, dengarkan jeritannya
Tidak’kah kau rindukan
Berjalan di tengah jalan yang terang benderang cahaya
Setiap langkah begitu mantap
Setiap duri mudah dihindari
Setiap berbahaya mudah dijauhi

Tulisan sederhana ini
Hanyalah sebuah sapaan singkat
Untuk mengalihkan sejenak pandangan kita
Akan arti goresan pada sebuah dinding kampus

Ujian dan Ketakutan

Jujur saja, ketakutanlah yang membuat kita melakukan apapun, ketakutanlah yang menciptakan makhluk-makhluk pengecut dan munafik. Robert Kiyozaki mengatakan : Sekolah ataupun Universitas tidak mengajarkan apa-apa selain ketakutan-ketakutan. Begitupun Stanley Kubrick yang mengatakan bahwa kesalahan terbesar dari sekolah adalah mencoba mengajarkan segala hal kepada anak-anak dengan menggunakan rasa takut sebagai motivasi dasarnya. Betulkan realitasnya memperlihatkan itu ? Karena takut mendapatkan nilai rendah, tidak lulus ujian atau takut kehilangan sesuatu yang mengilusi kita – seperti jabatan, pekerjaan, posisi, materi, dan segala tetek bengek lainnya – yang dijanjikan penguasa maupun pemodal kepada mahasiswa yang menyelesaikan studinya dengan tsumma cum laude. Ketakutan itulah yang membuat kita melakukan apapun, tidak banyak tanya, patuh, penurut seperti kerbau yang dicocok hidungnya, menjilat, mencontek ataupun sekalian menyogok. Kita semua menjadi kermunan disibukkan meraih IPK tinggi, karir cemerlang, gaji tinggi ataupun fasilitas yang disediakan penguasa tanpa peduli dengan kualitas diri.
Kita tidak suka kemiskinan, pun tidak mau miskin, namun kita juga tidak akan melakukan apapun demi kaya.
Singkirkanlah ketakutan-ketakutan itu selain ketakutan kepada pertanggungjawaban di hadapan Allah, hadapi ujian dengan berani tanpa harus dibebani oleh ketakutan-ketakutan yang hanya akan memeperpanjang barisan perbudakan...

Sunday 23 October 2011

Umpama Puasa

Malam itu setelah selesai mengajar privat, ibu dari siswa yang saya ajar menyodorkan sebuah amplop. Setelah saya buka, ternyata isinya adalah uang yang jumlahnya lumayan banyak. Itu gaji pertama saya :) Timbul semacam rasa senang dan bahagia, yang membuat saya lupa bahwa selama sebulan saya harus capek mengajar 3 kali sepekan, dengan jarak tempuh yang cukup lama, kadang dengan mata mengantuk, kedinginan, dan pengorbanan yang lainnya. Rasa capek dan lelah itu hilang dan dilupakan saat jerih payah itu dibalas.

Saya berfikir, mungkin ini yang juga dirasakan oleh guru di akhir bulan, yang dirasakan oleh petani disaat panen,dan yang dirasakan oleh siswa saat mereka melihat nilai mereka. Guru yang bangun pagi-pagi pergi mengajar anak orang lain, harus berteriak di depan minimal 30 siswa dalam sehari meski tidak diperhatikan adalah hal yang menyakitkan. Belum lagi rasa capek di malam hari saat memeriksa tugas siswa yang menumpuk. Namun semua lelah dan capek seketika akan dilupakan saat mereka menerima gaji di akhir bulan. Pun dengan petani, rasa letih yang dirasakan mulai saat menanam padi, panas terik dan dinginnya hujan, pasti akan dia lupakan saat panen tiba. Wajahnya akan tersenyum sumringah, walaupun keringatnya bercucuran. Dan juga siswa yang harus belajar, menghafal, mengerjakan soal dan tugas siang dan malam akan melupakan semua itu ketika melihat hasil ujian mereka yang memuaskan.

Lalu saya menengok kehidupan orang-orang  yang menjadikan akhirat sebagai harapan tempat mereka dibalas nanti.  Kulihat mereka begitu loba untuk melakukan kebaikan. Ada yang rela menahan kantuk untuk melakukan shalat tahajjud di sepertiga malam terakhir. Ada yang berlapar-lapar dengan puasa sunnah saat semua orang di sekitarnya makan. Ada juga yang berdakwah ke tempa yang jauh, menguras waktu dan tenaga. Aku berfikir, orang ini mungkin saja kelelahan dalam beribadah, capek mengurus ummat, mengorbankan waktu, tenaga, pikiran siang dan malam. Akan tetapi rasa lelah yang mereka rasakan, juga akan mereka lupakan saat hari pemberian upah di akhirat kelak, yang merupakan kebahagiaan dan kesenangan yang sesungguhnya.

Umpama orang yang berpuasa, rasa haus dan dahaga seharian yang dirasakan akan sirna seketika saat waktu berbuka telah tiba
" Telah hilang dahaga dan telah basah tenggorokan, dan pahala telah ditetapkan insya Allah"

Thursday 20 October 2011

Pahami Cinta

Seorang orang tua menghukum  anaknya yang bersalah adalah bentuk cinta 
Nasihat dari seorang guru pun adalah karena cinta
Seorang lelaki yang menundukkan pandangan kepada wanita pun adalah karena cinta
Dan kepatuhan beribadah kepada Tuhan merupakan pengejawantahan cinta

Bukan cinta
Orang tua yang memenuhi setiap permintaan anaknya
Atau Seorang guru yang membiarkan muridnya melakukan apa saja yang mereka sukai
 
Cinta bukan dengan duduk berduaan dengan lawan jenis yang pacaran
Cinta sesungguhnya adalah melakukan apa semua mau Tuhan.

Wednesday 19 October 2011

Ketidakpastian Pengukuran

PENGUKURAN DAN KETIDAK PASTIAN
DALAM PENGUKURAN


1.1.            Pengukuran
Asas semua cabang ilmu pengetahuan adalah pengamatan atau observasi. Pengamatan besaran fisika umumnya dinyatakan secara kuantitatif atau pengukuran. Kumpulan hasil pengukuran yang diperoleh dari berbagai sumber diolah dan disintesiskan menjadi sebuah model atau teori dari suatu gejala alam. Agar berguna, teori harus mampu menerangkan semua peristiwa alam yang dikenal dan dapat meramalkan berbagai hal baru yang benar tidaknya dibuktikan dengan percobaan dan pengukuran baru.
Jika suatu ketika hasil kajian tidak sesuai dengan ramalan teori, maka perlu verifikasi atau bahkan gugurlah teori itu. Dengan demikian peranan eksperimen sebagai balikan untuk  suatu teori. Perkembangan ilmu sifatnya dinamis dan terbuka sehingga peranan pengukuran sangat penting untuk menunjang pertumbuhan dan perkembangan ilmu murni maupun ilmu  terapan, seperti digambarkan pada bagan gambar 1. dibawah ini.


 







Gambar 1.1. Bagan peranan eksperimen dalam pengembagan ilmu




1.2.           Istilah-Istilah Dalam Pengukuran
Untuk menentukan suatu besaran secara kualitatif maka diperlukan instrumen atau alat ukur, dimana instrumen ini akan membantu manusia mengetahui suatu besaran atau variabel yang tidak diketahui. Untuk menggunakan instrumen secara tepat diperlukan pemahaman tentang prinsip-prinsip kerjanya dan mampu memperkirakan apakah instrumen tersebut sesuai untuk pemakaian yang telah direncanakan.
Dalam pengukuran, digunakan sejumlah istilah yang akan dipakai pada pembahasan berikutnya, antara lain :
a.       Instrumen/alat ukur : Suatu alat yang digunakan untuk menentukan nilai atau besarnya suatu kuantitas atau variabel.
b.      Ketelitian (accuracy) : Adalah nilai yang hampir sama atau terdekat dengan pembacaan instrumen terhadap nilai yang sebenarnya dari variabel yang diukur.
c.       Ketepatan (precision) : Adalah ukuran kemampuan untuk mendapatkan hasil pengukuran yang secara dari pengulangan pengukuran yang dilakukan. Atau merupakan suatu ukuran tingkatan yang menunjukkan perbedaan hasil pengukuran pada pengukuran yang dilakukan secara berurutan.
d.      Sensitivitas (Sensitivity) : Rasio antara sinyal keluaran atau respon instrumen terhadap perubahan masukan atau variabel yang diukur.

1.3             Angka-Angka Berarti (Penting)
Angka-angka berarti (significant figures) memberikan informasi yang aktual (nyata) terhadap ketepatan pengukuran. Banyaknya angka berarti menunjukkan tingkat atau derajat ketepatan suatu pengukuran, sebagai contoh : 2 buah tahanan masing-masing  68 W dan 68,0 W  ini berarti tahan pertama memiliki 2 angka penting dan tahanan kedua memiliki 3 angka penting. 68 W memiliki ketepatan yang lebih rendah daripada 68 W .
Dari contoh di atas terlihat bahwa betapa pentingnya angka penting dalam suatu hasil pengukuran. Untuk menuliskan hasil pengukuran yang tepat maka terlebih dahulu disajikan contoh-contoh operasi angka penting.

a.           Operasi Penjumlahan
Contoh  1.1 :
Dua buah tahanan R1 dan R2 dihubungkan secara berderet (seri). Pengukuran masing-masing dengan menggunakan jembatan Wheatstone menghasilkan : R 1 = 18,7 W dan R 2  = 3,624 W. Tentukan tahanan total sampai beberapa angka berarti yang memenuhi (sesuai).
Penyelesaian :
R1 = 18,7 W  (tiga angka berarti)
R2  = 3,624 W  (lima angka berarti)
RT = R1 + R2 = 22,324 W  (empat angka berarti) = 22,3 W

            Angka-angka yang dicetak miring untuk menunjukkan bahwa pada penjumlahan R1 dan R2, ketiga angka terakhir merupakan angka-angka yang meragukan. Dalam hal ini tidak ada gunanya untuk menggunakan dua angka terakhir (2 dan 4) sebab salah satu tahanan hanya diteliti sampai tiga angka yang berarti atau sepersepuluh ohm.
            Bila dua atau lebih pengukuran dengan tingkat ketelitian yang berbeda dijumlahkan maka hasilnya hanya seteliti pengukuran yang paling kecil ketelitiannya.

b.    Operasi perkalian
            Banyaknya angka-angka yang berarti dalam perkalian bisa bertambah dengan cepat, tetapi sekali lagi diingatkan bahwa yang diperlukan dalam jawaban hanya angka-angka berarti yang memenuhi.


Contoh 1.2 :
Untuk menentukan penurunan tegangan, arus sebesar 3,18 A dialirkan melalui sebuah tahanan 35,68 W. Tentukan penurunan tegangan pada tahanan tersebut sampai angka-angka berarti yang memenuhi.
Penyelesaian :
E = IR = (3,18) x (35,68) = 113,4624  = 113 V
            Karena didalam perkalian tersebut terdapat tiga angka yang berarti (yaitu 3,18), maka jawaban hanya dapat dituliskan maksimal dalam tiga angka yang berarti. Operasi pengurangan dan pembagian sama dengan aturan penjumlahan dan perkalian dalam hal penulisan angka penting.
1.4             Jenis-Jenis Kesalahan
            Tidak ada pengukuran yang menghasilkan ketelitian yang sempurna, tetapi adalah penting untuk mengetahui ketelitian yang sebenarnya dan bagaimana kesalahan yang berbeda digunakan dalam pengukuran. Langkah pertama yang diperlukan untuk menguranginya adalah mempelajari kesalahan-kesalahan tersebut; dimana dari hal ini juga dapat ditentukan ketelitian hasil akhir.
            Kesalahan-kesalahan dapat terjadi karena berbagai sebab dan umumnya dibagi dalam tiga  jenis, yaitu :
1.      Kesalahan-kesalahan umum (gross-errors): kebanyakan disebabkan oleh kesalahan manusia, diantaranya adalah kesalahan pembacaan alat ukur, penyetelan yang tidak tepat dan pemakaian instrumen yang tidak sesuai, dan kesalahan penaksiran.
2.      Kesalahan-kesalahan sistematis (systematic errors): disebabkan oleh kekurangan-kekurangan pada instrumen sendiri seperti kerusakan atau adanya bagian-bagian yang aus dan pengaruh lingkungan terhadap peralatan atau pemakai.
3.      Kesalahan-kesalahan yang tak disengaja (random errors): diakibatkan oleh penyebab-penyebab yang tidak dapat secara langsung diketahui sebab perubahan-perubahan parameter atau sistem pengukuran terjadi secara acak.  
Masing-masing kelompok kesalahan ini akan dibahas secara ringkas dengan menyarankan beberapa metode untuk memperkecil atau menghilangkannya.
a.   Kesalahan-Kesalahan Umum
Kelompok kesalahan ini terutama disebabkan oleh kekeliruan manusia dalam melakukan pembacaan atau pemakaian instrumen dan dalam pencatatan serta penaksiran hasil-hasil pengukuran. Selama manusia terlibat dalam pengukuran, kesalahan jenis ini tidak dapat dihindari; namun jenis kesalahan ini tidak mungkin dihilangkan secara kesuluruhan, usaha untuk mencegah dan memperbaikinya perlu dilakukan. Beberapa kesalahan umum dapat mudah diketahui tetapi yang lainnya mungkin sangat tersembunyi.
Kesalahan umum yang sering dilakukan oleh pemula adalah pemakaian instrumen yang tidak sesuai. Umumnya instrumen-instrumen penunjuk berubah kondisi sampai batas tertentu setelah digunakan mengukur sebuah rangkaian yang lengkap, dan akibatnya besaran yang diukur akan berubah. Sebagai contoh sebuah voltmeter yang telah dikalibrasi dengan baik dapat menghasilkan pembacaan yang salah bila dihubungkan antara dua titik di dalam sebuah rangkaian tahanan tinggi (contoh 1.3); sedang bila voltmeter tersebut dihubungkan ke sebuah rangkaian tahanannya rendah, pembacaannya bias berlainan bergantung pada jenis voltmeter yang digunakan    (contoh 1.4). Contoh-contoh berikut  menunjukkan bahwa voltmeter menimbulkan sebuah “efek pembebanan” (loading effect) terhadap rangkaian, yakni mengubah keadaan awal rangkaian tersebut sewaktu mengalami proses pengukuran.
Contoh 1.3 :
Sebuah voltmeter dengan kepekaan (sensitivity) 1000 W/volt membaca 100 volt pada skala 150 V bila dihubungkan di antara ujung-ujung sebuah tahanan yang besarnya diketahui. Tahanan ini dihubungkan secara seri dengan sebuah miliampermeter. Bila miliampermeter membaca 5 mA, tentukan (a) tahanan yang terbaca, (b) nilai tahanan actual dari tahanan yang diukur, (c) kesalahan karena efek pembebanan voltmeter.
Penyelesaian :
a.       Tahanan total rangkaian adalah :
Dengan mengabaikan tahanan miliampermeter, harga tahanan yang tidak diketahui adalah Rx = 20 kW
b.      Tahanan voltmeter adalah :
Karena voltmeter tersebut paralel terhadap tahanan yang tidak diketahui, kita dapat menuliskan
c.       Persentase kesalahan adalah :
 
Contoh 1.4 :
Ulangi contoh 1.3 jika miliampermeter menunjukkan 800 mA dan voltmeter menujukkan 40 V pada skala 150 V.
Penyelesaian :
a.       Tahanan total rangkaian adalah :
b.      Tahanan voltmeter adalah :
c.       Persentase kesalahan adalah :
 
           
Kesalahan-kesalahan yang disebabkan oleh efek pembebanan voltmeter dapat dihindari dengan menggunakan alat tersebut secermat mungkin. Misalnya, sebuah voltmeter yang tahanannya kecil tidak akan digunakan untuk mengukur tegangan-tegangan didalam sebuah penguat tabung hampa. Untuk pengukuran khusus seperti ini diperlukan sebuah voltmeter dengan impedansi masukan yang tinggi (misalnya VTVM atau TVM).
            Kesalahan-kesalahan umum dalam jumlah besar dapat dikenali dari keteledoran atau kebiasaan-kebiasaan yang buruk, seperti : pembacaan aktual yang diambil, atau penyetelan instrumen yang tidak tepat. Pandang sebagai contoh sebuah voltmeter rangkuman ganda menggunakan satu papan skala dengan angka-angka (tanda yang berbeda untuk setiap rangkuman). Dalam hal ini adalah mudah untuk menggunakan sebuah skala yang tidak bersesuaian terhadap penyetelan sakelar pemilih rangkuman voltmeter tersebut. Kesalahan umum juga dapat terjadi bila instrumen tersebut tidak dikembalikan ke angka nol sebelum melakukan pengukuran dan akibatnya semua pembacaan menjadi salah.
            Kesalahan-kesalahan seperti ini tidak dapat dinyatakan secara matematis tetapi hanya dapat dihindari dengan menggunakan pembacaan yang cermat dan juga pencacatan data pengukuran yang benar. Hasil yang baik memerlukan pembacaan lebih dari satu kali, atau mungkin dengan pengamat yang berbeda. Dalam hal ini kita sama sekali tidak boleh bergantung pada satu pembacaan saja, tetapi paling harus melakukan tiga pembacaan yang terpisah. Yang lebih disukai adalah pembacaan pada kondisi-kondisi dengan pengubahan instrumen-instrumen dari keadaan mati ke keadaan hidup (off-on).
b.   Kesalahan Sistematis
            Jenis kesalahan ini dapat dibagi dua bagian yakni :
(1).    Kesalahan instrumental (instrumental error) yaitu jenis kesalahan yang tidak dapat dihindarkan dari instrumen karena akibat struktur mekanisnya. Misalnya tarikan pegas yang tidak teratur, pembebanan instrumen secara berlebihan. Atau kesalahan kalibrasi akibatnya pembacaan yang tidak tepat. Kesalahan instrumental dapat dihindari dengan cara (i). ketepatan memilih instrumen yang sesuai peruntukannya, (ii) menggunakan faktor-faktor koreksi setelah mengetahui banyaknya banyaknya kesalahan instrumental, (iii) Kalibrasi instrumen dengan instrumen standar (baku).
(2).    Kesalahan karena lingkungan (environmental errors) yakni jenis kesalahan  akibat dari keadaan luar yang berpengaruh terhadap instrumen, seperti efek perubahan suhu, kelembaban udara, tekanan udara luar, atau medan elektromagnetik.
            Kesalahan sistematis dapat pula dibagi atas kesalahan statis dan kesalahan dinamis. Contoh mikrometer bila diberi tekanan yang berlebihan untuk memutar poros menyebabkan kesalahan statis. Kesalahan dinamis akibat ketidakmampuan instrumen untuk memberikan respon yang cepat bila terjadi perubahan dalam variable yang diukur.
c.   Kesalahan-kesalahan  acak (random errors)
            Kesalahan-kesalahan ini diakibatkan oleh penyebab yang tidak diketahui dan terjadi walaupun semua kesalahan-kesalahan sistematis telah diperhitungkan. Kesalahan-kesalahan ini biasanya hanya kecil pada pengukuran yang telah direncanakan secara baik; tetapi menjadi penting pada pekerjaan-pekerjaan yang memerlukan ketelitian tinggi, misalkan suatu tegangan akan diukur oleh sebuah voltmeter yang dibaca setiap setengah jam. Walaupun instrumen dioperasikan pada kondisi–kondisi lingkungan yang sempurna dan telah dikalibrasikan secara tepat sebelum pengukuran, akan diperoleh  hasil-hasil pembacaan yang sedikit berbeda selama periode pengamatan. Perubahan ini tidak dapat dikoreksi dengan cara kalibrasi apapun dan juga oleh cara pengontrolan yang ada. Cara satu-satunya untuk membetulkan kesalaha ini adalah dengan menambah jumlah pembacaan dan menggunakan cara-cara statistik untuk mendapatkan pendekatan paling baik terhadap harga yang sebenarnya.
1.5             Analisis Statistik (Statistical Analysis)
            Analisis statistik terhadap data pengukuran adalah pekerjaan yang bisa sebab dia memungkinkan penentuan ketidakpastian hasil pengujian akhir secara analisis. Hasil dari suatu pengukuran dengan metode tertentu dapat diramalkan berdasarkan data contoh (sample data) tanpa memiliki informasi (keterangan) yang lengkap mengenai semua faktor-faktor gangguan. Agar cara-cara statistik dan keterangan yang diberikannya (interpretasi) bermanfaat, biasanya  diperlukan sejumlah pengukuran yang banyak. Juga dalam hal ini, kesalahan-kesalahan sistematis harus kecil dibandingkan terhadap kesalahan-kesalahan acak;  sebab pengerjaan data secara statistik tidak dapat menghilangkan suatu prasangka tertentu yang selalu terdapat dalam semua pengukuran.
a.   Nilai Rata-Rata
Nilai yang mungkin dari suatu variabel yang diukur adalah nilai rata-rata dari semua pembacaan yang dilakukan. Pendekatan paling baik akan diperoleh bila jumlah pembacaan untuk suatu besaran sangat banyak. Secara teoritis, pembacaan yang banyaknya tak berhingga akan memberikan hasil paling baik, walaupun dalam prakteknya hanya dapat dilakukan pengukuran yang terbatas. Nilai rata-rata diberikan persamaan :
Dimana :
              =   nilai rata-rata
x1, x2, xn   =   pembacaan yang dilakukan
n               =   jumlah pembacaan
b.   Penyimpangan Terhadap Nilai Rata-Rata
            Penyimpangan (deviasi) adalah selisih antara suatu pembacaan terhadap nilai rata-rata dalam sekelompok pembacaan. Jika penyimpangan pembacaan pertama x1 adalah d1, penyimpangan pembacaan kedua x2 adalah d2, dan seterusnya, maka penyimpangan-penyimpangan terhadap nilai rata-rata adalah :
                                                                                                   (1.2)
            Perlu dicatat bahwa penyimpangan nilai rata-rata boleh positif atau negatif dan jumlah aljabar semua penyimpangan tersebut harus nol. Contoh 1.5 menunjukkan perhitungan penyimpangan (deviasi).
Contoh 1.5 :
Satu rentetan pengukuran arus yang tidak saling bergantungan dilakukan oleh enam pengamat dan menghasilkan 12,8 mA; 12,2 mA; 12.5mA; 13.1mA;     12.9 mA dan 12.4 mA. Tentukan (a) nilai rata-rata, (b) deviasi terhadap nilai rata-rata.
Penyelesaian :
(a).  Dengan menggunakan persamaan 1.1 nilai rata-rata adalah :
(b).  Dengan menggunakan persamaan 1.2, penyimpangan-penyimpangan adalah :
Dari sini dapat dilihat bahwa jumlah aljabar semua penyimpangan adalah nol.
c.  Simpangan rata-rata
            Deviasi rata-rata adalah suatu indikasi ketepatan instrumen yang digunakan untuk pengukuran. Instrumen-instrumen yang ketepatannya tinggi akan menghasilkan  deviasi rata-rata yang rendah. Menurut definisi, deviasi rata-rata adalah penjumlahan nilai-nilai mutlak dari penyimpangan-penyimpangan dibagi dengan jumlah pembacaan.
Deviasi rata-rata dapat dinyatakan sebagai :

            (1.3)

Penentuan deviasi ini diberikan contoh 1.6 berikut.

Contoh 1.6 :
Tentukan deviasi rata-rata untuk data yang diberikan contoh 1.5.
Penyelesaiaan :

d.  Deviasi Standar
            Deviasi standar (root–mean–square) merupakan cara yang sangat ampuh untuk menganalisis kesalahan-kesalahan acak. Secara statistik, deviasi standar dari jumlah data terbatas didefinisikan sebagai akar dari penjumlahan semua penyimpangan (deviasi) setelah dikuadratkan dibagi dengan banyaknya pembacaan. Secara matematis dituliskan :

                                               (1.4)

            Tentunya dalam praktek, jumlah pengamatan yang mungkin adalah terbatas. Deviasi standar untuk sejumlah data terbatas adalah :
                                               (1.5)
Persamaan (1.5) ini akan digunakan dalam contoh 1.7.
            Suatu pernyataan lain yang sesungguhnya besaran yang sama adalah variansi (mean square deviation) yang besarnya sama dengan kuadrat deviasi standar, yaitu :
Variansi (V) = mean square deviation = s2 .

1.6        KESALAHAN-KESALAHAN YANG MUNGKIN (PROBABILITY OF ERRORS)
a. Distribusi  Kesalahan Normal
            Pada tabel 1.1 ditunjukkan sebuah daftar dari 50 pembacaan tegangan yang dilakukan pada selang waktu yang singkat dan dicatat pada setiap kenaikan 0,1 Volt. Tegangan nominal secara grafik dalam bentuk sebuah diagram balok atau histogram dengan jumlah pengamatan digambarkan terhadap masing-masing pembacaan tegangan. Histogram pada gambar 1.1 menyatakan data dari tabel 1.1.






TABEL 1.1 Daftar Pembacaan Tegangan
Pembacaan Tegangan (Volt)
Jumlah Pengukuran
99.7
99.8
99.9
100.0
100.1
100.2
100.3
1
4
12
19
10
3
1
50



Text Box: 99.7Text Box: 99.8Text Box: 99.9Text Box: 100.0Text Box: 100.1Text Box: 100.2Text Box: 100.3
 









Gambar 1.1 Histogram yang menunjukkan frekuensi terjadinya pembacaan 50 tegangan berdasarkan Tabel 1.1. Kurva patah-patah manyatakan batas hisgram bila dilakukan pembacaan yang banyak dengan pertambahan yang kecil.

            Pada gambar 1.1 ditunjukkan bahawa jumlah pembacaan terbanyak (19) terdapat pada niolai tengah 100 Volt, sedang pembacaan-pembacaan nilainnya berada hampir simetri pada kedua sisi nilai tengah tersebut. Seandainya pembacaan yang lebih banyak dilakukan dengan kenaikan yang lebih kecil misalnya, 200 pembacaan sdengan selang 0,05 Volt, distribusi pengamatan akan tetap mendekati simetri terhadap nilai tengah dan bentuk histogram akan tetap menyerupai bentuk sebelumnya. Dengan data yang semakin banyak pada  kenaikan-kenaikan pengukuran yang makin kecil, kontur histogram akhirnya akan menjadi kurva yang lembut, seperti ditunjukkan oleh garis-garis patah pada gambar 1.1. kurva yang berbentuk lonceng ini disebut kurva Gauss. Makin tajam dan maikn sempit kurva tersebut, seseorang pengamat dapat menyatakan lebih pasti bahwa nilai pembacaan sebenarnya yang paling mungkin dalah nialai tengah atau pembacaan rata-rata



 








           
Hukum kesalahan Gauss atau hukum normal membentuk dasar dalam mempelajari efek-efek acak secara analitis. Walaupun penulisan matematis bagi masalah ini diluar lingkup pembatasan ini, pernyataan-pernyataan kualitatif berikut adalah didasarkan pada hukum Normal :
(a).   Semua pengamatan termasuk efek gangguan-gangguan kecil, disebut kesalahan-kesalahan acak;
(b).     Kesalahan-kesalahan acak bisa positif atau negatif,
(c).     Kemungkianan kesalahan acak yang positif dan negatif adalah sama

Dengan demikian kita dapat mengharapkan bahwa pengamatan pengukuran yang merngandung kesalahan-kesalahan yang positif dan negatif besarnya hampir sama, sehingga jumlah kesalahan total akan kecil dan nilai rata-rata akan menjadi nilai sebenarnya dari variabel yang diukur.

            Adapun kemungkinan-kemungkinan bentuk kurva distribusi kesalahan adalah sebagai berikut :
(a).  Kemungkinan kesalahan-kesalahan yang kecil lebih besar dari kemungkinan kesalahan-kesalahan yang besar.
(b).     Kesalahan-kesalahan yang besar adalah sangat mustahil;
(c).     Terdapat kemungkinan yang sama bagi kesalahan-kesalahan positif dan negatif sehingga kemungkinan suatu kesalahan yang diberikan akan simetri terhadap harga nol.
Kurva distribusi kesalahan pada gambar 1.2 didasarkan pada hukum Normal dan menunjukkan suatu distribusi kesalahan yang simetris. Kurva normal ini dapat dipandang sebagai bentuk yang membatasi histogram yang diberikan pada gambar 1.1 dalam mana nilai yang paling mungkin dari tegangan yang sebenarnya adalah nilai rata-rata 100,0 volt.

b.   Kesalahan Yang Mungkin (Probable Erorr)
                        Luasan yang dibentuk oleh kurva kemungkinan Gauss dalam gambar 1.2 diantara +¥ dan -¥, menyatakan semua jumlah pengamatan. Luasan yang dibatasi oleh +s dan -s menyatakan kasus-kasus yang selisihnya dari nilai rata-rata tidak akan melebihi deviasi standar. Integrasi luasan yang dibatasi oleh kurva dalam batas-batas ±s menghasilkan jumlah total semua kasus didalam batas-batas tersebut. Untuk data yang tersebar secara normal, berdasarkan distribusi Gauss diperoleh bahwa hampir 68% dari semua kasus-kasus tersebut berada dalam daerah +s dan -s dari nilai rata-rata. Nilai-nilai yang sehubungan penyimpangan-penyimpangan lainnya dinyatakan dalam s diberikan pada tabel 1.2.






TABEL 1.2 Luasan dibawah kurva kemungkinan
Deviasi (+) (s)
Bagian luasan total yang tercakup
0.6745
1.0
2.0
3.0
0.5000
0.6828
0.9546
0.9972

                        Jika sejumlah tahanan yang nilai nominalnya 100 diukur dan nilai rata-rata yang diperoleh adalah 100,00 W, maka dengan deviasi standar sebesar 0,20 W kita mengetahui bahwa sebanyak 68% (atau sekitar dua pertiga) dari semua tahanan mempunyai nilai (harga) yang terletak di dalam batas-batas ±0,20 W dari nilai rata-rata. Dengan demikian, terdapat sekitar dua banding satu kemungkinan bahwa nilai  setiap tahanan yang dipilih secara acak, akan terletak diantara batas-batas tersebut. Jika diinginkan perbedaan yang lebih besar, penyimpangan dapat diperbesar sampai batas ± 2s yang dalam hal ini adalah ± 0,40 W. Sesuai  dengan tabel 1.2, hal ini berarti 95% dari semua kasus dan 10 banding 1; artinya setiap tahanan yang dipilih secara acak terletak dalam batas-batas ± 0.40 W dari nilai rata-rata 100.00 W.
                        Pada tabel 1.2 menunjukkan bahwa separuh dari kasus tersebut berada dalam batas-batas penyimpangan ± 0,6745 s. Besaran r disebut kesalahan yang mungkin          (probable error) yang didefinisikan sebagai

                        Kesalahan yang mungkin r  = ± 0.6745 s.                                          (6)

                        Nilai ini adalah mungkin dalam arti bahwa terdapat suatu kesempatan yang sama dimana setiap pengamatan akan memiliki suatu kesalahan acak yang tidak melebihi ± r.



Contoh 1.7 :
Pengukuran sebuah tahanan sebanyak sepuluh kali memberikan : 101.2 W;  101.7 W; 101.3 W; 101.0 W; 101.5 W; 101.3 W; 101.2 W; 101.4 W; 101.3 W;  101.1 W.
Dengan menganggap bahwa hanya terdapat kesalahan acak, tentukan : (a) nilai rata-rata, (b) deviasi standar, (c) kesalahan yang mungkin.
Penyelesaiaan :
Pengamatan yang banyak seperti ini lebih baik dibuat dalam bentuk tabel (daftar), sehingga menghindari keragu-raguan dan kesalahan.

Pembacaan (x)
Deviasi
d
d2
101.2
101.7
101.3
101.0
101.5
101.3
101.2
.101.4
101.3
101.1
-0.1
0.4
0.0
-0.3
0.2
0.0
-0.1
0.1
0.0
-0.2
0.01
0.16
0.00
0.09
0.04
0.00
0.01
0.01
0.00
0.04
Sx = 1,013.0
S = 1,4
= 0,36

(a).  Nilai rata-rata,  
(b).  Standar Deviasi, ,
(c).  Kesalahan yang mungkin = 0,6745s  =  0,6745 x 0,2                   = 0,1349 .
c.    Kesalahan Batas (Limiting Errors)
            Dalam kebanyakan instrumen, ketelitian hanya dijamin sampai suatu persentase tertentu dari skala penuh.  Komponen-komponen rangkaian (seperti kondensator, tahanan, dan lain-lain) dijamin dalam suatu persentase tertentu dari nilai tertera. Batas-batas penyimpangan dari nilai yang ditetapkan disebut kesalahan batas (limiting error) atau kesalahan garansi (guarantee error). Misalnya jika nilai sebuah tahanan adalah 500  ± 10%, maka pabrik menjamin bahwa nilai tahanan tersebut berada diantara 450  dan 550 . Pabrik tidak menetapkan standar deviasi atau kesalahan yang mungkin, tetapi menjanjikan bahwa kesalahan tidak akan lebih besar dari batas-batas yang telah ditetapkan.

Contoh 1.8 :
Ketelitian sebuah voltmeter 0 – 150 V  dijamin sampai 1% skala penuh. Tegangan yang diukur oleh voltmeter adalah 83 V. Tentukan “limiting error” dalam persen.
Penyelesaian :
Besar kesalahan batas (limiting error) adalah 0,01 x 150 V =  1,5 V.
Persentase kesalahan pada penunjukan voltmeter sebesar 83 V adalah :
 

Pada  contoh 1.8 di atas terlihat  bahwa voltmeter dijamin memiliki suatu ketelitian yang lebih baik 1% skala penuh, tetapi sewaktu voltmeter tersebut membaca 83 voltmeter kesalahan batas bertambah menjadi 1,81%. Secara berkaitan, bila tegangan yang diukur lebih kecil, kesalahan batas akan bertambah. Jika voltmeter membaca 60 V kesalahan batas adalah sebesar  , sedang untuk pembacaan 30 V menjadi  . Pertambahan persentase kesalahan batas sewaktu mengukur tegangan yang lebih kecil adalah karena besarnya kesalahan batas merupakan suatu kuantitas tertentu yang didasarkan pada skala maksimum alat ukur. Contoh 1.8 menunjukkan pentingnya melakukan pengukuran sedekat mungkin ke skala penuh.  

Contoh  1.9 :
Tiga buah kotak tahanan dekade (kelipatan 10) yang masing-masing dijamin ± 1% digunakan dalam sebuah rangkaian jembatan Weaststone untuk mengukur sebuah tahanan yang tidak diketahui (Rx). Tentukan batas Rx  yang diberikan oleh ketiga kotak tahanan tersebut .

Penyelesaian :
Persamaan untuk kesetimbangan jembatan menunjukkan bahwa dapat ditentukan dari ketiga kotak tahanan yaitu , dimana R1, R2, dan R3 adalah tahanan-tahanan kotak yang dijamin sampai ± 0,1%. Harus diketahui bahwa kedua suku dalam pembilang (yaitu R1 dan R2) bisa positif sampai batas maksimal 0,1% dan harga dalam penyebut bisa negatif sampai maksimal 0,1% dan keduanya menghasilkan suatu kesalahan total sebesar 0,3%. Dengan demikian, kesalahan garansi diperoleh dengan menjumlahkan langsung semua kesalahan yang mungkin. Pengambilan tanda-tanda aljabar menghasilkan kombinasi yang mungkin paling jelek sebagai ilustrasi berikutnya untuk menghitung disipasi dalam sebuah tahanan dengan menggunakan hubungan        P = I2R  diberikan pada contoh 1.10 berikut.

Contoh 1.10 :
Arus melalui sebuah tahanan 100 ± 0,2  adalah 2,00 ± 0,01 A. Dengan menggunakan persamaan    P = I2R , tentukan kesalahan batas untuk disipasi daya.



Penyelesaian :
Dengan menyatakan batas-batas garansi arus dan tahanan dalam % , diperoleh :
I = 2,00 ± 0,01 A = 2,00 A ± 0,5%
R = 100 ± 0,2  = 100  ± 0,2%
Jika dalam hal ini digunakan kombinasi kesalahn yang mungkin yang paling jelek, kesalahan batas dalam disipasi daya adalah (P = I2R)
(2 x 0,5%) + 0,2% = 1,2%
Dengan demikian, disipasi daya menjadi  P = I2R = (2,00)2 x 100 = 400 W ± 1,2% = 400 ± 4,8 W.

SOAL LATIHAN
  1. Tentukan jumlah angka yang berarti dalam masing-masing bilangan berikut :
(a). 542            (d).  0.65
(b). 27.25        (e).   0.00005
(c). 40 x 106      (f).   20.000
  1. Sebuah voltmeter yang kepekaannya 10 W/V membaca 75 V pada skala 100 V bila dihubungkan kesebuah tahanan yang tidak diketahui. Bila arus melalui tahanan adalah 1,5 mA, hitung (a) tahanan aktual dari tahanan yang tidak diketahui, (b) persentase kesalahan karena efek  pembebanan voltmeter.
  2. Tegangan antara ujung-ujung sebuah tahanan adalah 200 V dengan kesalahan yang mungkin sebesar ± 2%. Tahanan adalah 42 W dengan kesalahan yang mungkin sebesar ± 1,5%. Tentukan (a) disipasi daya di dalam tahanan, (b) persentase kesalahan.
  3. Pengukuran sebuah tahanan memberikan hasil-hasil berikut : 147,2 W; 147,4 W; 147,9 W; 148,1 W; 147,1 W; 147,5 W; 147,6 W; 147,4 W; 147,6 W; dan 147,5 W. Tentukan (a) nilai rata-rata, (b) deviasi rata-rata, (c) standar deviasi, (d) kesalahan yang mungkin dari rata-rata kesepuluh pembcaan tersebut.
  4. Untuk menentukan besaran (kuantitas) dilakukan enam pengamatan dan kemudian data yang disajikan tersebut akan dianalisa. Data tersebut adalah 12,35; 12,71; 12,48; 10,24; 12,63; dan 12,58. dengan memeriksa data tersebut dan berdasarkan kesimpulan saudara, tentukan (a) nilai rata-rata; (b) standar deviasi, (c) kesalahan yang mungkin dari pembacaan rata-rata dalam persen.
  5. Dua buah tahanan mempunyai nilai berikut :
R1 = 36 W ± 5%  dan R2 = 7 W ± 5%
Tentukan (a) besarnya kesalahan dalam masing-masing tahanan, (b) kesalahan atas (dalam ohm dan dalam persen) kedua tahanan tersebut jika dihubungkan berderet (seri), (c) kesalahan batas dalam ohm dan dalam persen bila keduanya dihubungkan paralel.
  1. Sebuah tahanan yang tidak diketahui ditentukan dengan menggunakan rangkaian jembatan Wheatstone. Hasil tahanan tersebut diperoleh dari Rx = R1R2/R3.
Dimana            R1 = 500 W ± 1%
R2 = 615 W ± 1%
R3 = 100 W ± 0,5%
      Tentukan (a) nilai nominal tahanan yang tidak diketahui, (b) kesalahan batas tahanan tersebut dalam persen.
  1. Lengan-lengan sebuah jembatan Wheatstone ditandai berurutan sekeliling jembatan dengan tanda-tanda B, A, X, dan R. ketiga lengan yang diketahui memiliki konstanta-konstanta berikut :
A = 840 W (standar deviasi, SD = 1 W)
B =   90 W (SD = 0,5 W)
R = 250 W (SD = 1 W)
            Tentukan : (a) nilai X yang mungkin; (b) standar deviasi dari X.